Предварительная математическая обработка статистических данных

После получения результатов эксперимента для дальнейшего их анализа проводится упорядочение данных, их графическое представление и расчет основных числовых характеристик.

Наблюдаемые значения исследуемого признака Х называют вариантами и обозначают , числа их наблюдений называют частотами и обозначают Общее число наблюдений называют объёмом выборки и обозначают n,

Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. К характеристикам вариационного ряда относятся:

1) Размах варьирования R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями, ;

2) Мода Мо — это варианта, имеющая наибольшую частоту;

3) Медиана Ме — это варианта, делящая вариационный ряд пополам по числу вариант.

Статистическим распределением выборки называют множество вариант и соответствующих им частот. Обычно статистическое распреде-ление выборки представляют в виде таблицы:

			…
			…

Эмпирической функцией распределения называется числовая функция , определяющая относительную частоту события Она вычисляется по формуле:

(1)

где — сумма частот вариант, значения которых меньше х, n — объём выборки.

является неубывающей функцией, значения которой принадлежат отрезку . служит оценкой теоретической функции распределения , определяющей вероятность события

Основными графическими формами представления данных наблюдений являются полигон частот и гистограмма.

Полигоном частот называется ломаная линия, звенья которой соединяют точки с координатами , , … , .

Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы одинаковой длины h, а высотами — плотности интервальных частот .

Основными характеристиками выборки являются:

1) Выборочная средняя , вычисляется по формуле:

. (2)

2) Выборочная дисперсия , вычисляется по формуле:

. (3)

3) Исправленная дисперсия , вычисляется по формуле:

(4)

4) Выборочное среднее квадратическое отклонение , вычисляется по формуле:

(5)

5) Исправленное среднее квадратическое отклонение s, вычисляется по формуле:

(6)

6) Коэффициент вариации V, вычисляется по формуле:

. (7)

Перечисленные характеристики относятся к точечным оценкам, при малых объёмах выборки предпочтительнее пользоваться интервальными оценками.

Доверительным интервалом для параметра , точечной оценкой которого является , называют интервал , содержащий с заданной вероятностью значение параметра , называют надежностью оценки.

Например, в случае нормально распределённой случайной величины доверительный интервал для среднего значения при неизвестном параметре определяется формулой:

(8)

где t — критическая точка распределения Стьюдента с степенями свободы для двусторонней области на уровне значимости определяется по таблицам, например в .

Пример. Статистическая обработка результатов измерений (вычисления выполнять с точностью до двух знаков после запятой)

Даны результаты измерений значений случайной величины Х. Составить статистическое распределение выборки и найти:

а) характеристики вариационного ряда: размах варьирования, моду, медиану;

б) эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

в) построить полигон частот и гистограмму;

г) выборочную среднюю;

д) выборочную и исправленную дисперсии;

е) выборочное и исправленное средние квадратические отклонения

(стандарт);

ж) коэффициент вариации ( %);

з) доверительный интервал для среднего значения признака Х с надежностью =0,95;

12; 9; 16; 17; 10; 9; 15; 12; 15;16; 20; 18; 17; 9; 15; 9; 16; 9; 18; 16

Составим статистическое распределение выборки. Для этого расположим варианты в порядке возрастания:

9; 9; 9; 9; 9; 10; 12; 12; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 20

и подсчитаем числа наблюдений каждой варианты — частоты. Получим:

а) Размах варьирования мода Мо=9; объём выборки n=20, поэтому середина вариационного ряда находится между 10-й и 11-й вариантами в упорядоченном вариационном ряду, и медиана вычисляется как их среднее арифметическое, Ме = (15+15)/2=15.

б) Эмпирическую функцию распределения найдём по формуле (1):

;

;

;

;

;

;

;

;

Построим график (рис. 1)

Рис. 1

в) Построим полигон частот (рис. 2). Для этого по оси отложим наблюдаемые значения , а по оси частоты . Отметим точки с координатами и соединим их последовательно отрезками прямых.

Рис. 2

Для построения гистограммы разобьём интервал изменения x (9,20) на два интервала одинаковой длины h=5,5, подсчитаем интервальные частоты и плотности интервальных частот. Результаты внесём в таблицу 1.

Таблица 1

интервалы	Интервальные частоты	Плотности интервальных частот
		16/11
		24/11

Построим гистограмму (рис. 3).

Рис. 3

г) Вычислим выборочную среднюю по формуле (2):

.

д) Вычислим выборочную дисперсию формуле (3):

.

Исправленную дисперсию найдём по формуле (4):

е) Выборочное и исправленное средние квадратические отклонения найдём по формулам (5) и (6):

ж) Коэффициент вариации вычислим по формуле (7):

з) Доверительный интервал для среднего значения признака Х найдём по формуле (8). Сначала по таблице [1] найдём критическую точку распределения Стьюдента с числом степеней свободы и уровнем значимости Получим t = 2,09 и подставим в формулу (8):

. После вычисления получим доверительный интервал для среднего значения