Теоретические упражнения

1. Исходя из определения производной, доказать, что

a. а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;

b. б) производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная;

c. в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.

2. Доказать, что если функция дифференцируема в точке и , то .

3. Доказать, что производная не существует, если

4.

5. Доказать, что производная от функции

6.

7. разрывна в точке .

8. Доказать приближенную формулу

a.

9. Что можно сказать о дифференцируемости суммы в точке если, в этой точке:

10. а) функция дифференцируема, а функция не дифференцируема;

11. б) обе функции и не дифференцируемы.

12. Пусть функция дифференцируема в точке и , а функция не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение является недифференцируемым в точке .

13. Что можно сказать о дифференцируемости произведения в предположениях задачи?

a. Рассмотреть примеры:

b. а)

c.

d. б)

e.

14. Найти , если

15. Выразить дифференциал от сложной функции через производные от функции и дифференциалы от функции .

16. Пусть и дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить через и .