Эмпирические вариограммы и ковариационные функции

Вариограмма и функции ковариации – это теоретические величины, которые вы не можете наблюдать, поэтому оцениваете их, исходя из ваших данных, с использованием так называемых эмпирических вариограмм и эмпирических ковариационных функций. Часто, вы можете постичь величины, изучив то, каким образом они оцениваются. Сначала взгляните на эмпирическую вариограмму. Предположим, вы возьмете все пары точек, расположенных друг от друга на примерно одинаковом расстоянии и примерно в одном и том же направлении, как и пары точек, соединенных на следующем рисунке зелеными отрезками.

Для всех пар точек si и sj , соединенных отрезками, вычислим среднее[(z(si) % z(sj))2],

где z(si) - измеренное значение в точке si. Если все пары точек si и sj расположены близко друг к другу, предполагается, что значения z(si) и z(sj) будут иметь сходные значения, следовательно, когда вы найдете их разности и вычислите их квадрат, среднее значение квадратов разностей должно быть маленьким. По мере удаления si и sj , предполагается, что их значения будут сильнее отличаться друг от друга, следовательно, когда вы найдете их разности и вычислите их квадрат, среднее значение квадратов разностей должно стать больше.

Посмотрите на ковариационную функцию. Для всех пар точек si и sj, соединенных отрезками, вы вычисляете среднее[ (z( ) z)(z( ) z) i j s− s− ], где z(si) - измеренное значение в точке si , а z - среднее из всех значений опорных точек. Если все пары si и sj расположены близко друг к другу, предполагается, что либо оба значения z(si) и z(sj) будут выше среднего, либо оба будут ниже среднего. В любом случае, результат выражения будет положительным, поэтому при нахождении среднего значения всех произведений вы получите положительное значение. Если же si и sj удалены друг от друга, ожидается, что примерно в половине случаев произведения будут отрицательными, а в половине случаев - положительными, следовательно, их среднее будет стремиться к нулю.

В модуле Geostatistical Analyst средние значения, вычисленные по формуле, приведенной выше, для всех пар точек, удаленных на одинаковое расстояние и в одинаковым направлении, наносятся на поверхность вариограммы или ковариации. Например, здесь приведена поверхность эмпирической вариограммы. Размер ячеек носит название размера лага, а количество ячеек носит название количества лагов, и их можно задать в модуле Geostatistical Analyst. Количество лагов в данном примере равно 12, и подсчитывается как число соседних ячеек по прямой горизонтальной или вертикальной линии от центра до края изображения поверхности.