ЛИНЕЙНЫЕ СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

Наиболее часто для получения общего решения линейных диффе­ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которыми описываются стационарные СИ с сосредоточенными параметрами, на практике используются классический метод и преобразования Лапласа или Карсона — Хевисайда. Рассмотрим сущность и осо­бенности использования этих методов для анализа математической модели СИ и определение основных динамических характеристик.

Как было показано в гл. 4, линейное аналоговое СИ может быть описано системой или одним линейным уравнением (2.99), (2.100) в операторной форме:

(5.1)

или

(5.2)

где N (р) — операторный многочлен; — неинформативный па­раметр входного сигнала, возмущающее воздействие и т. д.

Согласно классическому методу, полное решение неоднородного уравнения (5.1) или (5.2)

(5.3)

где — общее решение однородного уравнения ;

— частное решение уравнения (5.2).

Общее решение однородного уравнения (5.2):

(5.4)

где — корни однородного характеристического уравнения ; — кратности корней; — произвольные постоянные.

Если отсутствуют нулевые и кратные корни, то (5.4) приобрета­ет более простой вид:

(5.5)

где r — число вещественных корней однородного характеристи­ческого уравнения; l — число пар комплексно сопряженных кор­ней характеристического уравнения.

Частное решение определяется правой частью уравнения (5.2) и соответствует некоторому установившемуся (статическому) режиму, который будет существовать после затухания свободной составляющей . Например, при решение может склады­ваться из отдельных слагаемых, определяемых правой частью. Для уравнения (5.2) будет два слагаемых, получаемых из уравнений

В этом заключается принцип суперпозиции.

Для определения произвольных постоянных и использу­ются начальные условия при t = 0: Начальные условия находят из физических соображений или по уравнению (5.2). При этом для определения произвольных постоян­ных необходимо использовать полное решение (5.3). Например, для случая вещественных корней

(5.6)

Дифференцируя (5.6) п — 1 раз по времени и приравнивая (5.6) и получаемые выражения или в соответствии с начальными условиями получим п алгебраических уравнений для отыскания произвольных постоянных.

При определении переходной или импульсной характеристики на вход СИ подаются тестовые сигналы — единичные ступенчатый сигнал или идеальный импульс. Следовательно, для их определения реальный входной сигнал в уравнении (5.1) необходимо заме­нить на или

Решение уравнений классическим методом — довольно трудо­емкий процесс, особенно отыскание произвольных постоянных ин­тегрирования. Поэтому часто для решения используются преобра­зования Лапласа.

Метод решения дифференциальных уравнений с использованием преобразований Лапласа состоит в замене дифференциальных урав­нений алгебраическими, результат решения которых затем преоб­разуется в искомые временные функции.

Преобразование Лапласа, или изображение F (р) временной функции f (t), определяется как

(5.7)

или для выходного сигнала

Поскольку — комплексная величина, то результат решения в изображениях получается в области комплексного пере­менного.

Для отыскания временной функции или оригинала у (t) по най­денному решениюУ (р) используется обратное преобразование Лап­ласа

(5.8)

Выражения (5.7) и (5.8) справедливы для случая нулевых началь­ных условий, то есть

у (t) = 0 при t = 0.

Широкое распространение преобразований Лапласа для решения дифференциальных уравнений объясняется, во-первых, возмож­ностью решения алгебраических, а не дифференциальных уравне­ний; во-вторых, «автоматическим» учетом начальных условий в са­мих преобразованиях и, наконец, тем, что трудоемкая операция отыскания интегралов (5.7) и (5.8) сведена к использованию несколь­ких теорем и таблиц преобразования элементарных функций.

Изображения и оригиналы некоторых функций, а также основ­ные теоремы преобразовании Лапласа, используемые для решения дифференциальных уравнений, приведены в табл. 5.1.

Найдем решение линейного дифференциального уравнения (5.1) с нулевыми начальными условиями.

Согласно теореме дифференцирования и свойству линейности (табл. 5.1), уравнение (5.1) в изображениях будет

(5.9)

Значение изображения выходной величиныУ (р) в комплексной области может быть определено как

(5.10)

или через передаточную функцию

(5.11)

Для отыскания оригинала необходимо восполь­зоваться обратными преобразованиями Лапласа (5.8) или таблицей преобразований, предварительно разложив, при необходимости, правую часть (5.10) на дроби.

Если рассматриваются ненулевые начальные условия, то есть , то их необходимо учесть в преобразованиях Лапласа. Изображение первой производной в этом случае можно получить на основании (5.7):

где У (р) — изображение самой функции.

Аналогично для второй производной

или для производной любого порядка

(5.12)

Таким образом, здесь кроме изображения производной добавляются слагаемые, учитывающие начальные условия.