ПРИМЕР ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ.
Использование преобразований Лапласа рассмотрим па примере. Требуется определить импульсную характеристику СИ, описываемую уравнением
(5.13)
где ах, а2, а3 — постоянные коэффициенты, определяемые параметрами СИ.
Согласно правилам дифференцирования и интегрирования, а также теореме подобия и преобразованию единичной импульсной функции (табл. 5.1), уравнение в изображениях
Поскольку это уравнение является алгебраическим, решение относительно изображения выходной величины можно представить в виде
Для определения необходимо найти обратное преобразование Лапласа полученного решения У (р), например, непосредственным интегрированием или, что значительно проще, разложив выражения У (р) на дроби, аналогичные приведенным для изображений в табл. 5.1.
Используя правило разложения на простейшие дроби, представим выражение для У (р) в виде суммы изображений, имеющих знаменатели первой степени. Для этого необходимо найти корни полинома знаменателя. Для случая вещественных корней р1, р2, р3 выражение для У (р) можно записать в виде
(5.14)
где C1, С2, С3 — произвольные постоянные.
Приведя правую часть этого уравнения к общему знаменателю и приравняв коэффициенты левой и правой частей при р с одинаковыми степенями, получим три уравнения с тремя неизвестными C1, С2, С3:
Определим неизвестные:
Воспользовавшись табл. 5.1 и уравнением (5.14), найдем обратное преобразование Лапласа У (р), то есть импульсную характеристику СИ:
(5.15)
Таким образом, для получения решения уравнений с использованием преобразования Лапласа необходимо: найти изображения дифференциального уравнения с учетом начальных условий; полученное алгебраическое уравнение решить относительно изображения неизвестной функции; найти неизвестную временную функцию путем обратного преобразования Лапласа (обычно путем разложения изображения на простейшие дроби).
Дата добавления: 2015-11-18; просмотров: 665;