Тема 3. Дифференцируемость и дифференциал

Аннотация.Дифференцирование это термин, обозначающий нахождение, как производных функций, так и их дифференциалов.

Ключевые слова: функция, производная, скорость, дифференциал.

Методические рекомендации по изучению темы:

После изучения лекционного материала и изучения презентационного материала с разбором решений необходимо выполнить задание №3.

Источники информации:

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н.Берман. — М.: Наука, 1977.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.— М.: Наука, 1988.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М.: Высшая школа, 2001.

4. Бесплатный ресурс для студентов – http://math24.ru/calculus-list.html

5. Образовательный математический сайт – http://www.exponenta.ru/

6. Учебные материалы - http://math.fizteh.ru/study/

7. Учебные пособия - http://kpfu.ru/main_page?p_sub=14502

Список сокращений:

Глоссарий:

Абсцисса - Одна из декартовых координат точки, обычно первая, обозначаемая буквой x.

Аргумент функции - Независимая переменная величина, по значениям которой определяют значения функции.

График - Кривая на плоскости, изображающая зависимость функции от аргумента.

Дифференцирование - Термин, обозначающий нахождение, как производных функций, так и их дифференциалов.

Касательная - Предельное положение секущей, проходящей через данную точку и другую точку кривой, неограниченно приближающуюся к данной.

Константа - Постоянная величина при рассмотрении математических и других процессов.

Вопросы для изучения:

3. Понятие дифференцируемости и дифференциала.

4. Связь дифференциала с производной.

Лекция 4.

Дифференциал

Пусть функция непрерывна в рассматриваемой точке х, . Если , то , т.е. обе эти величины – бесконечно малые при .

Считая за основную бесконечно малую, выделим главную часть . Получим .

Допустим, что к = 1, т.е.

Если бесконечно малая высшего порядка чем , т.е. , то запись (1) можно сохранить, допуская А = 0.

Так что можно представить в виде (1), если и имеют один порядок ( ) или имеет высший порядок, чем (А = 0).

В первом случае говорят, что имеет главную линейную часть относительно .

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке х, если приращение функции в этой точке представимо в виде (1), где А – постоянная, не зависящая от . Величина называется дифференциалом функции в точке х и обозначается или .

Таким образом , .

Теорема 1. Функция дифференцируема в точкех тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную, причем

(1).

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точкех, т.е. . Отсюда , т.е. .

Достаточность. Пусть в точкех существует конечная производная . Тогда , где - бесконечно малая при . Отсюда . Слагаемое есть при , т.к. . Таким образом , где от не зависит. Значит дифференцируема в точкех и . Теорема доказана.