Транспорттық модельдердің жалпы құрамы

х_n1 + х_n2 + ...+ х_nm = b_n (3.3)

в) әрбір жүк жіберетін пункттен әр тұтынушыға таситын жүктің мөлшері теріс сан болуы мүмкін емес (яғни х_іj>0 - жүк тасу тиімді немесе х_іj=0 - жүк тасу тиімсіз):

х₁₁ ³ 0, х₁₂ ³ 0,... х_nm ³ 0. (3.4)

Сонымен (3.1) ... (3.4) жалпы транспорттық есептің кеңейтіл-ген моделі болып есептелінеді.

- сома белгісі арқылы транспорттық есептің математи-калық моделін құрама түрінде көрсетейік:

(3.5)

Шектеу шарттары:

(3.6)

(3.7)

х_іj≥0, (3.8)

Мына жағдайда:

(3.9)

яғни барлық жүк жіберілетін пункттерде өндірілген немесе жинал-ған жүктің көлемі толығымен тұтынушылардың сұраныстарын қамтамасыздандырады. Мұндай транспорттық есеп жабық немесе балансталған деп аталады.

Егер математикалық модельде шарты орындалмаса, мұндай транспорттық (тасымалдау) есептерінің моделін ашық немесе балансталмаған модель деп атайды.

Транспорттық есептің моделі ашық болған жағдайда есепті шешу үшін оны жабық транспорттық есепке айналдырады.

Егер болса, онда жүк артық жиналған, мұндай жағдайда есепті жабу үшін жалған тұтынушы (B_n+1) енгізіледі де, оның жүкке сұраныс мөлшерін мына қатынаспен есептейді:

b_n+1=Σa_j – Σb_і.

Кейбір әдебиеттерде мұндай есептер «Артығымен тасымал-дау есебі» немесе «Балансталмаған, ашық транспортық есеп» делінеді.

Егер болса, онда өндірілген өнім (жүк) мөлшері тұтынушылардың сұраныс мөлшерін толығымен қамтамасыз ет-пейді, мұндай жағдайда есепті жабу үшін жалған жүк жіберуші пункт (А_m+1) енгізіледі де, ондағы жиналған жүк мөлшерін мына қатынаспен есептейді:

а_m+1=Σb_і–Σa_j.

Жүктің бір бірлігін тасуға кететін шығын (жалған тордың бағасы), яғни бірінші жағдайда: C_n+1,1= 0, C_n+1,2= 0,...,С_n+1,m= 0, ал екінші жағдайда: C_1,m+1 = 0, C_2,n+1= 0,...,С_n,m+1= 0-деп алынады.

Қарастырылып отырған тақырыпта жоғарыдағы келтірілген транспорттық есептердің математикалық модельдері аграрлық өн-еркәсіп кешенінің көптеген есептерінің математикалық аппарат-тарының негізін құрайтынын атап өттік. Мысалға, ауыл шаруа-шылығында ауыспалы егістік жерлерді оңтайлы жоспарлауда, техниканы әртүрлі жұмысқа оңтайлы бөлуде, өндіріс мамандарын әртүрлі жұмысқа тиімді бекітуде, өндіріс орындарын тиімді түрде орналастыруда, тағы басқа да көптеген есептерде қолданылады.

2. Транспорттық модельдерді шешу әдістеріне

қысқаша шолу

Жалпы транспорттық есеп сызықты программалау есебінің құрамына енеді. Дегенмен де, сызықты программалау есептерін ше-шуге арналған компьютерлік программалар пакеттері дамығанға дейін, транспорттық есепті симплекстік әдіспен шешуде, қосымша іс-әрекеттер жүргізуді қажет ететін біраз ерекшеліктер кездеседі. Жоғарыда қарастырылған сызықты программалау есептерінің математикалық моделінде белгісіз х-тер тек бір ғана j = 1,2,...n индекспен берілген. Ал тасымалдау (транспорттық) есебінде белгі-сіздер екі индекспен анықталады.

Транспорттық есепті симплекс әдісімен шешкен кезде екі индексті (өлшемді) көрсеткіштер бір индексті көрсеткіштерге ауыстырылады, мысалы:

х₁₁= у₁, х₁₂= у₂, х₁₃= у₃, х₁₄= у₄, х₂₁= у₅, х₂₂= у₆, және т.б.с.с.

с₁₁= v₁, c₁₂= v₂, c₁₃= v₃, c₁₄= v₄, c₂₁= v₅, c₂₂= v₆, және т.б.с.с.

Осы әрекеттердің нәтижесінде транспорттық есептің матема-тикалық моделі жоғарыдағы баяндалған сызықтық программалау есебінің симплекс әдісімен шығарылатын түріне ауысады. Сөйтіп, есепті шығару үшін симплекс әдісін қолдануға болады. Бірақ, есеп-тің шарты қарапайым, ал ізделінетін белгісіздер өте көп және есепті ешқандай есептеу техникасынсыз қолмен симплекс әдісін қолда-нып шығару өте ыңғайсыз.

Осы келтірілген жағдайларға байланысты ғалымдар транс-порттық есепті шығарудың симплекс әдісінен басқа жолын қарас-тырды. Қазіргі кезде транспорттық есептерді шығаруға өте ыңғай-лы көптеген әдістер жасалынған. Мысалға, үлестіру (тарату) әдісі, Венгер әдісі, потенциал әдісі, Вогель (Фогель) әдісі және тағы басқа әдістер тәжірибеде кеңінен таралған. Солардың ішінен 1949 жылы Кеңестер Одағының белгілі математигі, академик Л.В. Кантарович және М.К. Гавурин ұсынған тарату (үлестіру) әдісі тәжірибеде кеңінен қолданылады.

Транспорттық есептерді шешуге арналған әдістердің көпші-лігі осы есептердің математикалық моделінің мына қасиеттеріне сүйенеді:

– барлық шектеуші шарттар тек теңдік түрінде беріледі;

– әрбір белгісіз тек екі-ақ теңдеудің құрамына енеді;

– шектеуші шарттардағы белгісіздердің коэффициенттері бірге тең.

Транспорттық есептерді шешуге арналған барлық әдістерді қолданғанда есепті шешу әрқашанда тірек жоспарын құрудан басталады (бірінші құрылған кестені базистік шешім деп атайды). Математикалық программалау пәніне арналған әдебиеттерде [12, 13, 15, 16...] тірек жоспарын құрудың бірнеше тәсілдерін кездестіруге болады. Солардың ішінде ең көп кездесетіндері:

n солтүстік - батыс бұрышы ережесі;

n екі есе ұтымды ережесі;

n жол немесе бағана бойынша ең кіші элемент ережесі;

n матрица кестесіндегі ең кіші элемент ережесі;

n Вогель (Фогель) әдісі.

Осы ережелердің бірімен тірек жоспарын құрғанда әрқашан-да толтырылған торлардың саны мына талапқа дәл болуға тиіс:

K_т = m + n –1,

бұл жағдай үлестіру әдісінің бірінші талабы.

Үлестіру (тарату) әдісі. Транспорттық есепті шешуге арнал-ған және тірек жоспарын біртіндеп жақсарту ретін нақтылы көрсе-тіп бейнелейтін ең бірінші жасалған әдіс. Ол осы әдістің негізінде жасалынған МОДИ әдісін (модификацияланған) оқып үйренуге жақсы кіріспе болып табылады.

Бірінші кезекте жоғарыда көрсетілген ережелердің бірімен тірек жоспары құрылады. Барлық бос торлар үшінарнайы тәртіп-пен және ереже бойынша тұйықциклдар тұрғызылады [12].

Бос торлардың сипаттамалары мына формуламен есептелі-неді:

мұндағы – циклдың тақ торларының бағалары (бос тор бірінші тақ тор болып есептелінеді де, әрі қарай жұп, келесісі тақ болып әрі қарай цикл бойынша қайталана береді. Есептеу кез келген бағытта немесе цикл бағытымен жүргізіледі);

– циклдың жұп торларының бағалары.

Оңтайлы жағдайдың белгісін тексеру. Егер Z ® mіn, онда барлық бос торлардың сипаттамасы оң сан болса, яғни: , базистік шешім оңтайлы делінеді. Егер Z ® max, онда барлық бос торлардың сипаттамасы теріс сан болса, яғни: , базистік шешім оңтайлы делінеді.

Егер құрылған жоспар оңтайлы емес және бірнеше теріс сипаттама болса, онда осы сипаттамалардың ең кішісі бойынша цикл құрылады да, түрлендіру жүргізіледі, яғни бір рет орнын ауыстыру әрекеті жасалынады [12, 13, 15].

МОДИ әдісі (потенциалдар әдісі).Үлкен өлшемді кестелерде транспорттық есептерді үлестіру (тарату) әдісімен циклдер құрып сипаттамаларды есептеу, өте ыңғайсыз. Осындай есептерді моди-фикацияланған тарату әдісімен (МОДИ) шешкенде есептеу технологиясы көп жеңілденеді. Цикл құрмай-ақ бос торлардың сипаттамаларын мынадай формуламен есептеуге болады:

D_іj = C_іj – (U_і + V_j ),

мұндағы C_іj – бос торлардың бағасы;

U_і– кестенің і-жолының потенциалы;

V_j– кестенің j – бағанасының потенциалы.

Негізінде МОДИ әдісі үлестіру (тарату) әдісімен сәйкес, ал потенциалдар әдісінен айырмашылығы бос тордың сипаттамасын анықтайтын формуланың таңбасы әртүрлі.

Потенциал деп мына формуламен: C_іj^т = U_і+V_j немесе кейбір әдебиеттерде C_іj^т =α_і+β_j есептелген кез келген сандар жұйелерін айтады. Мұндағы С_іj^т – толтырылған (базистік) тордың бағасы; U_і сияқты α_і - кестенің і-жолының потенциалы; V_j сияқты β_j – кестенің j – бағанасының потенциалы.

МОДИ әдісі бойынша бірінші кезектеалғашқы тіректік шешім жоғарыдағы айтылған ережелердің бірімен құрылғаннан кейін жоғарыда келтірілген формула (C_іj^т =U_і+V_j) бойынша базистік (толтырылған) тордың жолының-U_і және бағанасының-V_j потен-циалдары анықталынады. Бірінші жолдың потенциалы U₁ = 0-ге тең деп алынады. Бос торлардың сипаттамаларын мына формула-мен есептейді: D_іj = C_іj – (U_і + V_j ). Келесі жасалатын әрекеттер үлестіру (тарату) әдісімен бірдей.

Дифференциалдық ренталар әдісі. Егер потенциалдар әдісі-мен транспорттық есептің оңтайлы жоспарын анықтау үшін ең бірінші оның тірек жоспарын құрып, одан кейін ол біртіндеп жақ-сартылса, ал дифференциалдық ренталар әдісімен ең бірінші тасымалданатын жүктің негізгі бөлігі ең тиімді түрде бөлінеді де (мұндай әрекет шартты-оңтайлы бөлу делінеді), осыдан кейін келесі итерацияларда (әрекеттерді қайтадан қайталау) жүктің бө-лінбей қалған бөліктері біртіндеп бөлініп, аяғында тиімді оңтайлы жоспар құрылады.

Венгер әдісі.Бұл әдістің негізгі идеясы: жол (бағана) бірдей шамаға d_j (d_і) өзгергенде (көбейсе немесе кемісе) есептің оңтайлы жағдайы ешқандай өзгеріске ұшырамайды.

Қазіргі кезде тірек жоспарын құрғанда бірден немесе оңтайлы шешімге өте жақын базистік шешімді құруға мүмкіндік беретін бірнеше әдістер белгілі. Солардың бірі аппроксимация (аппроксимация ағылшын сөзі – түзету, жақындасу деген ұғымды білдіреді) әдісі немесе оны У. Фогель (Вогель) әдісі деп атайды. Себебі аталған әдістің авторы американдық математик У. Фогель (кейбір ағылшын тілінен аударған оқу құралдарында У. Вогель деп аталынып жүр). Ол экономикалық тұрғыдан қарағанда осы әдіс-тердің ішіндегі ең ұтымдысы.

Сонымен, транспортық және осы типтес есептерді қолмен, компьютерсіз шығаруға арналған бірнеше әдістер мен тәсілдер бар. Олардың бір-бірінен айырмашылығы онша көп емес. Бірақ, көп өлшемді есептерді жедел, тез арада шешімін табуға қазіргі кезде жоғарыдағы аталған әдістер мен тәсілдер жарамсыз. Сондықтан осындай есептерді компьютер көмегімен шығару келешекте қызық-ты болмақ.

Қазіргі кезде нарық жүйесінде тек жүкті тасымалдаумен ай-налысатын транспорттық есептен басқа осы есепке ұқсас модельдер көптеп кездесетіні туралы жоғарыда біренеше рет аталды.

Нарық жүйесінің көптеген есептерінің модельдерін транс-порттық есептердің модельдеріне ұқсатып құрып, оларды осы есептердің әдістерімен компьютерде MS Excel-дің Поиск решения құралының көмегімен шығаруға болатынына келесі тақырыптарда көздеріңіз жетеді.