Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

Докажем, что грани правильных многогранников не могут быть правильными n-угольниками, где n³6.

Пусть гранями правильного многогранника служат правильные шестиугольники. Градусная мера каждого их внутреннего угла равна 120°. В каждой вершине правильного многогранника сходится не менее трех граней, тогда сумма градусных мер плоских углов при вершине многогранника не менее 3×120°=360°, а это невозможно, так как по теореме 2 сумма градусных мер всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360º. Градусная мера каждого внутреннего угла правильного многоугольника с большим числом сторон больше 120°, поэтому они не могут оказаться гранями правильного многогранника.‡

Таким образом, гранями правильного многогранника могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Рассмотрим возможные случаи:

№	Число граней, сходящихся в каждой вершине	Вид многоугольников, которые служат гранями многогранника	Сумма плоских углов при вершине	Название правильного многогранника
		треугольник	60°×3=180° < 360°	Тетраэдр Развёртка: 4 грани
		четырёхугольник	90°×3=270° <360°	Гексаэдр (куб) 6 граней
		пятиугольник	108°×3=324° <360°	Додекаэдр 12 граней
		треугольник	60°×4=240° < 360°	Октаэдр 8 граней
	4	четырёхугольник	90°×4 = 360° !!!!!
	4	пятиугольник	108°×4 > 360° !!!!
		треугольник	60°×5=300° < 360°	Икосаэдр 20 граней

Проверьте самостоятельно справедливость теоремы Эйлера для всех видов правильных многогранников.