Многогранный угол. Свойства трёхгранного угла

Определение. Многогранным углом называется геометрическая фигура, являющаяся объединением плоских углов, удовлетворяющих перечисленным ниже требованиям, и части пространства, для которой эти углы служат границей. Требования к плоским углам многогранного угла:

1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или стороны.

2) У каждого из таких углов каждая сторона является общей со стороной только одного такого угла.

3) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости.

Плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны – рёбрами.

Из определения следует, что вершины всех плоских углов совпадают. Эта точка называется вершиной многогранного угла.

Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.

По числу граней многогранный угол может быть трёхгранным, четырёхгранным, …, n-гранным.

На рисунке изображён пятигранный угол SABCDE. Его вершиной является точка S, гранями – плоские углы ASB, BSC, CSD, DSE и ESA, рёбрами – лучи SA, SB, SC, SD, SE.

Двугранный угол исключён из числа многогранных углов в виду неопределённости в выборе его вершины.

Каждые две грани, имеющие общее ребро, определяют двугранный угол многогранного угла.

В элементарной математике обычно рассматриваются выпуклые многогранные углы, плоские углы которых меньше 180°.

Два трёхгранных угла называются равными, если равны их соответственные элементы: плоские углы и двугранные углы.

Точка X называется внутренней точкой трёхгранного угла SABC, если луч SX пересекает плоскость ABC в точке, которая является внутренней точкой треугольника ABC.

Геометрическое место внутренних точек трёхгранного угла, равноудалённых от его граней, называется пространственной биссектрисой этого угла.

Свойства многогранных углов.

Теорема 1 (Свойство плоских углов трехгранного угла). Градусная мера каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы градусных мер двух других плоских углов.

1) Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть угол ASB его наибольший плоский угол. Покажем, что .

2) Построим в плоскости ASB угол ASK, равный углу ASC. От точки S на луче SK отложим отрезок SM. На луче SC отложим SN = SM. Через точку M в плоскости ASB проведем прямую до пересечения с лучами SA и SB в точках R и P. Соединим точки R и P с точкой N. Получим равные треугольники SRM и SRN (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство сторон RM = RN.

3) Согласно неравенству треугольника в треугольнике RPN RP < RN + NP, т.е. RM+ MP < RN + NP, откуда

MP < NP.

4) В треугольниках SPM и SPN по две равные стороны, следовательно, против большей стороны лежит больший угол, т.е. , прибавляя к обеим частям этого неравенства по равным углам RSM и RSN, получим .‡

Теорема 2 (Свойство плоских углов многогранного угла). Сумма градусных мер всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360º.

Доказательство проведем для трехгранного угла.

1) Рассмотрим трехгранный угол SABC. Построим луч SA₁, противоположный лучу SA.

2) Рассмотрим трехгранный угол SA₁BC. Его плоскими углами являются ÐBSC, ÐA₁SC= , ÐA₁SB= . Применим к ним теорему 1, получим:

+ ,т.е . ‡

Теорема 3.Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро проектируется на биссектрису третьего плоского угла или ее продолжение.

Доказательство оформить самостоятельно.

Рассмотрим зависимости между плоскими и двугранными углами многогранного угла.

Теорема косинусов для трехгранного угла. Косинус плоского угла трехгранного угла равен произведению косинусов двух остальных плоских углов, сложенному с произведением синусов этих же углов и косинуса двугранного угла, противолежащего этому плоскому двугранному углу.

1) Пусть в трехгранном угле SABC плоские углы ÐCSB = α, ÐASC =β, ÐASB = γ , а двугранный угол при ребре SА равен A. Докажем, что:

2) Построим линейный угол двугранного угла при ребре SА. (Из точки A проведем перпендикуляры AB и AС к ребру SA в гранях ASB и ASС.)

3) D BAC : по теореме косинусов (1).

D BSC: по теореме косинусов (2).

Из равенств (1) и (2) следует = (3)

4) DASB (ÐA = 90°): ,

DASС (ÐA = 90°): ,

Из равенства 3, получим:

Разделив обе части этого равенства на произведение SB∙SC, получим

.‡

Доказательство для случая тупых плоских углов следует из приведенного доказательства заменой данных тупых углов смежными им углами.

Теорема синусов для трехгранного угла. В трехгранном угле синусы плоских углов пропорциональны синусам противолежащих им двугранных углов, т.е. .

Доказательство следует из теоремы косинусов для трёхгранного угла. Проведите его самостоятельно по следующему плану:

1. Выразите косинусы двугранных углов, используя формулы теоремы косинусов для трёхгранного угла.

2. Выразите квадраты косинусов этих углов.

3. Выразите квадраты синусов этих углов, используя равенство .

4. Убедитесь в равенстве отношений, указанных в условии теоремы.

1.1.Геометрическое тело. Определение многогранника. Виды многогранников

Определение. Точка M фигуры F, расположенной в пространстве, называется граничной точкой фигуры F,если на сколь угодно малом расстоянии от точки M найдутся точки, как принадлежащие фигуре F, так и не принадлежащие этой фигуре.

Множество всех граничных точек фигуры называется её границей.

Определение. Точка M фигуры F, расположенной в пространстве, называется внутренней точкой фигуры F,если существует шар с центром в этой точке, каждая точка которого принадлежит фигуре F.

Множество всех внутренних точек фигуры называется её внутренностью.

Фигура называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому шару.

Определение. Геометрическим телом называется ограниченная фигура в пространстве, обладающая следующими свойствами:

1) у неё есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить ломаной, каждая точка которой является внутренней точкой фигуры;

2) фигура содержит свою границу и её граница совпадает с границей её внутренности.

Граница тела называется его поверхностью.

Определение. Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Многоугольники, образующие границу многогранника, называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами многогранника.

Многогранники подразделяются на выпуклые и невыпуклые многогранники.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой из плоскостей, содержащих его грани. Многогранник, не являющийся выпуклым, называется невыпуклым.

1.2.Призма. Виды призм

Определение. Призмой (n-угольной) называется многогранник, у которого две грани – равные n-угольники с соответственно параллельными сторонами, а остальныеnграней – параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются сторонами оснований.

Контрпримеры:

Материал о призме изучите самостоятельно по учебнику В.В. Шлыкова «Геометрия 11» (по 11-ти летке):

Полной поверхностью призмы называется …

Площадью полной поверхности призмы называется …

Боковой поверхностью призмы называется …

Площадью боковой поверхности призмы называется …

Высотой призмы называется …

Диагональю призмы называется …

Диагональным сечением призмы называется …

Прямой призмой называется…

Правильной призмой называется…

Параллелепипедом называется…

Прямым параллелепипедом называется…

Прямоугольным параллелепипедом называется…

Теоремао свойстве оснований призмы…

…

Теорема о свойстве боковых рёбер прямой призмы…

…

Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы…

…

Свойства параллелепипеда…

Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда…

…

Теоремы обобъёмепараллелепипеда (прямоугольного, прямого, наклонного): нужно знать формулировки и идею доказательства каждой теоремы.

, где…

, где…

, где…

Ортогональное сечение призмы – это сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые рёбра и перпендикулярной им.

Опорная задача 1.Докажите, что

1) площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её ортогонального сечения на длину бокового ребра: (l – длина бокового ребра).

2) объём наклонной призмы равен произведению площади её ортогонального сечения на длину бокового ребра: .

Доказательство оформить самостоятельно (см. рисунок).

Опорная задача 2.Докажите, что в призме, боковое ребро которой образует равные углы с прилежащими рёбрами основания, высота, проведённая из вершины призмы, принадлежащей этому ребру, проецируется на прямую, содержащую биссектрису угла между рассматриваемыми рёбрами основания призмы.

Составьте и решите задачу по рисунку:

1.3.Пирамида. Виды пирамид

Определение.Пирамидой (n-угольной) называется многогранник, у которого одна грань – n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной, у каждого из которых сторона, противолежащая этой вершине, является одной из сторон основания.

Материал о пирамиде изучите самостоятельно по учебнику В.В. Шлыкова «Геометрия 11» (по 11-ти летке):

Площадью полной поверхности пирамиды называется …

Площадью боковой поверхности пирамиды называется …

Диагональным сечением пирамиды называется …

Высотой пирамиды называется …

Правильной пирамидой называется …

Апофемой правильной пирамиды называется …

Теорема о высоте правильной пирамиды…

…

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды…

…

Опорная задача 3.Докажите (устно), что если в пирамиде все боковые рёбра равны или образуют равные углы с плоскостью основания, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.

Опорная задача 4.Докажите (устно), что если в пирамиде все высоты боковых граней равны или все двугранные углы при рёбрах основания равны, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

Опорная задача 5.Докажите, что если в пирамиде все двугранные углы при рёбрах основания равны, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формулам:

1) (l – высота боковой грани)

2) (a – величина двугранного угла при ребре основания)

…

Вспомогательная задача. Докажите, что площадь S_O ортогональной проекции треугольника ABC на плоскость равна произведению его площади S на косинус угла j между плоскостью треугольника и плоскостью проекции: .

Р е ш е н и е. Докажем формулу а) для случая, когда плоскость проекции проходит через сторону треугольника (рис.а) ; б) для случая, когда плоскость проекции параллельна стороне треугольника (рис. б); в) для общего случая (рис. в).

а) 1) Пусть треугольник ABC лежит в плоскости a, плоскость b пересекает плоскость a по прямой AC, , треугольник AB₁C – ортогональная проекция треугольника ABC на плоскость b.

2) BH – высота треугольника ABC. Тогда B₁H –высота треугольника AB₁C (наклонная , следовательно, проекция ). , .

3) В треугольнике BHB₁ ( , ) , следовательно, .

б) 1) Пусть треугольник ABC лежит в плоскости a, плоскость b пересекает плоскость a по прямой , , треугольник A₁B₁C₁ – ортогональная проекция треугольника ABC на плоскость b.

2) Через прямую AC проведём плоскость g||b, . Четырёхугольники ACC₁A₁, AB₂B₁A₁, CB₂B₁C₁ –параллелограммы (отрезки проецирующих прямых, заключённые между параллельными плоскостями равны), следовательно, , поэтому .

в) Пусть треугольник ABC лежит в плоскости a, плоскость b пересекает плоскость a по прямой l, прямая l не параллельна сторонам треугольника ABC, треугольник A₁B₁C₁ – ортогональная проекция треугольника ABC на плоскость b.

2) Проведём прямую ( ), , точка X₁ –проекция X на плоскость b, тогда , , следовательно, = = .

Теоремы обобъёмепирамиды: нужно знать формулировки и идею доказательства каждой теоремы.

, где…

Опорная задача 6.Докажите, что объёмы треугольных пирамид, имеющих общий трёхгранный угол, относятся как произведения длин трёх рёбер этих пирамид, выходящих из вершины этого трёхгранного угла. Т.е.

(См. практическое занятие)

Опорная задача 7.Докажите (устно), что объём пирамиды равен трети произведения площади её поверхности на радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Опорная задача 8.Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания – многоугольник, подобный основанию; площади сечения и основания относятся как квадраты расстояний от вершины до плоскостей, в которых расположены сечение и основание пирамиды.

…

1.4.Усечённая пирамида

Определение.Пусть плоскость b параллельна плоскости a основания пирамиды OA₁A₂A₃…A_n и пересекает её боковые рёбра OA_1, OA_2, OA_3, …, OA_n в точках B₁, B₂, …, B_n соответственно. Многогранник, гранями которого являются два n-угольника A₁A₂A₃…An и B₁B₂B₃…Bn и n четырёхугольников A₁B₁B₂A₂, A₂B₂B₃A₃, …, A_nB_nB₁A₁, называется усечённой пирамидой.

Материал об усечённой пирамиде изучите самостоятельно по учебнику В.В. Шлыкова «Геометрия 11» (по 11-ти летке):

Высотой усечённой пирамиды называется …

Правильной усечённой пирамидой называется …

Апофемой правильной усечённой пирамиды называется …

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется …

Опорная задача 9.Докажите, площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований P₁ и P₂ на апофему l:

…

Опорная задача 10.Докажите, объём V усечённой пирамиды вычисляется по формуле , где S₁ и S₂ – площади верхнего и нижнего оснований, h – высота усечённой пирамиды.

…

1.5.Теорема Эйлера. Правильные многогранники

Определение. Эйлеровой характеристикой многогранника называется число , где

b – количество вершин, g – количество граней, r – количество рёбер многогранника.

Утверждение.Эйлерова характеристика призмы, пирамиды, усечённой пирамиды равна 2, т.е.

Для n-угольной призмы b=2n, g=n+2, r=2n+n=3n. Имеем: ‡

Теорема Эйлера.Для любого выпуклого многогранника .

Доказательство можно найти пособии [2].

Определение.Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и все его многогранные углы имеют одинаковое количество рёбер.