Закон нормального распределения случайных событий (величин) или закон Гаусса.
Закономерности частоты появления отдельных результатов измерений описываются законами распределения. Для многих наблюдений значения отдельных результатов по отношению к математическому ожиданию измеряемой величины описываются законом нормального распределения (закон Гаусса). Нормальный закон зависимости вероятности измерения определенного значения величины в определенном интервале значений величины наблюдается в тех случаях, когда на измерение действует много факторов, каждый из которых мало связан с большинством других, и влияние каждого фактора на конечный результат существенно меньше суммарного влияния всех остальных факторов.
Математическое определение закона Гаусса.Пусть имеется очень большое (теоретически бесконечное) количество чисел xi, которое называется генеральной совокупностью. Непрерывная случайная величина x, принимающая значения от -¥ до +¥, называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности (частота появления) определяется выражением:
Р(х) = 1/(sÖ2p)*ехр((xi – а)2/2s2),
где Р(х) - частота появления результата xi; а и s - числовые параметры распределения.
Величина а называется генеральной средней случайной величины xi (часто ее обозначают m и называют математическим ожиданием). Параметр s называется генеральным средним квадратическим отклонением случайной величины Х или стандартным отклонением. s2 называется генеральной дисперсией случайной величины.
Математическое ожидание (истинное) m для непрерывной случайной величины задается интервалом:
+¥
m = ò Р(x)* dx
-¥
Дисперсия s2 характеризует рассеяние случайной величины относительно истинного и определяется как математическое ожидание квадратов отклонений х от m:
+¥
s2 = ò (х - m )2 Р(х)dх
-¥
Положительное значение корня квадратного из дисперсии s называют стандартным отклонением и используют для характеристики рассеяния случайной величины х в генеральной совокупности относительно истинного m.
Для практического использования (в частности при обработке данных химического анализа) обычно применяют нормированный закон нормального распределения, который получают при переходе от величины х к функции:
u = (х - m.)/s,
где u - отклонение переменной величины х от математического ожидания, выраженное в долях стандартного отклонения. Т.к. при этом u = 0, а s2 = 1, то выражение преобразуется в:
j(u) = 1/(Ö2p)*ехр(-u2/ 2).
При обработке результатов многократных измерений и сопутствующих им случайных погрешностей принято приводить два статистических критерия - ширину доверительного интервала, внутри которого могут лежать результаты отдельных измерений, и доверительную вероятность того, что они попадают в этот интервал.
e (Dх) - доверительный интервал в абсолютных единицах или ширина поля допуска - расстояние между двумя вертикальными линиями, соответствующее максимально допустимому (приемлемому, доверительному) отклонению переменной величины; характеризует точность измерения.
Р - доверительная вероятность (степень надежности, коэффициет надежности) -доля площади, ограниченная кривой распределения и пределами доверительного интервала.
Доверительная вероятность - это вероятность попадания переменной величины в заданный доверительный интервал.
Доверительная вероятность возрастает с увеличением доверительного интервала и уменьшается с увеличением стандартного отклонения.
При одинаковом доверительном интервале, выраженном в долях стандартного отклонения (u), доверительная вероятность Р одинакова.
a - уровень значимости отклонений - доля площади, ограниченной кривой распределения за пределами доверительного интервала a = 1 - Р. Уровень значимости равен вероятности непопадания переменной величины в заданный доверительный интервал или равен вероятности отклонений от принятых пределов. Уровень значимости уменьшается с увеличением доверительного интервала и увеличивается при увеличении стандартного отклонения s. При одинаковых u уровень значимости одинаков.
Значения интегральной функции распределения представлены в таблицах, пользуясь которыми можно найти вероятность, с которой величина u не превзойдет заданного значения. Чаще при статистической обработке данных пользуются табулированными значениями интеграла:
U
q(u) = 1/Ö2pò eu2/2du,
который называют нормированной функцией Лапласа. В таблице, содержащей значения функции Лапласа, приведены доверительные вероятности только для положительных значений u, поскольку нормированное нормальное распределение симметрично. Для нахождения доверительной вероятности того, что случайная величина (случайная погрешность) попадет в заданный интервал, табличные значения вероятности следует увеличить вдвое. Так, можно показать, что если случайная погрешность при многократном измерении не превышает соответственно ±s, ±2s и ±3s, то доверительные вероятности равны 0,6826; 0,9544 и 0,9973. Т.к. u= (х - m)/s, то рассматриваемые интервалы составляют u=±1, u=±2, u =±3.
Благодаря функции Лапласа можно рассчитать доли брака и выхода годной продукции в зависимости от степени рассеяния контрольного показателя продукции и относительного положения значения математического ожидания и границ поля допускаемых отклонений.
Последовательность вычислений при этом такая:
1. Рассчитывают математическое ожидание генеральной совокупности или среднее арифметическое выборки m.
2. Рассчитывают стандартное отклонение результата измерения.
3. Находят границы допусков (хmax, xmin) и вычисляют расстояния между математическим ожиданием и границами допусков (хmax - m) и (xmin - m.).
4.Выражают в долях стандартного отклонения положение границ поля допуска, т.е. расстояние между математическим ожиданием и границами поля допусков (u). u* = (xmin - m.)/s, u** =(хmax - m)/s
5. По таблицам функции Лапласа находят вероятности Р* и Р**, соответствующие значениям u* и u**. Величина Р* + Р** соответствует доле годного продукта, находящегося в заданных пределах.
6. Брак составит: a = 1 - Р* - Р**.
t - распределение.
t- распределение характеризует степень приближения параметров выборки к генеральной совокупности (нормальному распределению) в зависимости от числа степеней свободы f = n - 1, где n - число измерений, равное числу параллельных проб.
Чем меньше число степеней свободы, тем менее надежной характеристикой генеральной дисперсии s2 является выборочная дисперсия S2. При нормальном распределении появление больших погрешностей менее вероятно, чем малых, поэтому при уменьшении числа параллельных проб вероятность появления больших погрешностей уменьшается. Не учет этого приводит к необъективному, заниженному значению погрешности. Эта ненадежность, связанная с числом определений (параллельных проб), учитывается t-распределением Стьюдента, в котором предусматривается большая вероятность появления больших погрешностей, а малых меньше, чем в нормальном распределении.
Как и нормальное распределение, t-распределение симметрично и имеет максимум при том же значении абсциссы, при котором он был при нормальном распределении. Однако такие характеристики кривой t-распределения, как высота и ширина, зависят от числа степеней свободы, т.е. от числа измерений.
При f ® ¥ t-распределение переходит в нормальное распределение. Практически эта разница становится малозаметной уже при f ³ 20.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 995;