К определению оптимальных настроек регуляторов при детерминированных воздействиях и низкочастотных помехах

Рассмотрим замкнутую АСР, представленную на рис. 2.22а. На объект действуют помехи f_i по каналам, передаточные функции которых обозначены как W_ni(p).

Высокочастотные помехи подавляются самим объектом, а влияние низкочастотных будем стремиться уменьшить за счет оптимальной настройки регулятора. Кроме того, будем считать, что промежуточные помехи в АСР не имеют места.

Передаточные функции системы по управляющему воздействию и помехам запишутся соответственно

(2.62)

, (2.63)

а изображение выходного сигнала АСР

(2.64)

Преобразуем нашу систему (см. рис. 2.22б) таким образом, чтобы помеха была введена на вход системы через соответствующий фильтр с передаточной функцией [12] :

V_ni(p)

Для эквивалентности система V_ni(p) должна быть связана с передаточными функциями исходной системы выражением

(2.65)

Чтобы помеха не сказывалась на работе АСР достаточно, чтобы она не пропускалась фильтром V_ni(p).

Воспользуемся разложением амплитудно-частотных характеристик АСР по управляющему воздействию и фильтра помех в ряд Тейлора вблизи нулевой частоты :

(2.66)

(2.67)

Рис. 2.22 – К определению оптимальных настроек регуляторов при детерминированных воздействиях и низкочастотных помехах:

а - исходная схема; б - преобразованная схема

Для обеспечения наилучшего подавления в системе низкочастотных помех и наилучшего пропускания управляющего сигнала необходимо добиться за счет соответствующей настройки регулятора выполнения следующих условий:

(2.68а) (2.68б)

Чем больше число коэффициентов разложения обращается в нуль, тем лучше подавляются низкочастотные помехи.

Перейдем к конкретному рассмотрению нахождения оптимальных настроек регулятора из системы уравнений (2.68).

Для системы с ПИД-регулятором АЧХ фильтра для некоторой i -ой помехи определяются формулой:

(2.69)

Производные от этого выражения при =0 принимают значения:

, (2.70)

где K_ni - коэффициент передачи по -му каналу помехи. Сама АЧХ при =0 по выражению (2.69б) равна нулю. Дальнейшие вычисления производных дают те же значения, что и вычисленные первые три. Выражения (2.68а) при =0 выполняются.

Таким образом, при оптимальной настойке регулятора необходимо иметь максимально возможную величину отношения коэффициента передачи регулятора K_p ко времени изодрома T_из , так как при этом :

Кроме того, время предварения регулятора должно быть однозначно связано с величиной времени изодрома и составлять половину последнего.

Выражение для АЧХ фильтра для произвольной i -ой помехи в системе с ПИ-регулятором получим, полагая в (2.69) T_пр=0:

(2.71)

При ω=0 это выражение обращается в нуль. Первая производная от (2.71) при ω=0 принимает значение:

, (2.72)

т.е. наилучшему подавлению низкочастотных помех соответствует максимум отношения K_p/T_из.

Аналогично, для системы с ПД-регулятором, полагая в (2.69) получаем:

, (2.73)

а

(2.74)

Оба выражения при ω=0 стремятся к нулю при беспредельном увеличении коэффициента передачи регулятора K_p.

Для системы с П-регулятором:

(2.75)

При ω=0 выражение принимает значение

(2.76)

Для наилучшей фильтрации помех следует стремиться к возможно большему K_p.

Наконец, для системы с И-регулятором:

(2.77)

При ω=0 АЧХ фильтра обращается в нуль. Выражение для первой производной при нулевой частоте имеет значение:

(2.78)

Из (2.77) и (2.78) следует, что наилучшая фильтрация низкочастотных помех имеет место при .

Как будет показано ниже расчет АСР с астатическими регуляторами (И, ПИ, ПИД) может быть преобразован к расчету АСР с П- или ПД-регулятором, путем отнесения полинома знаменателя регулятора к объекту регулирования, а общий коэффициент усиления системы может быть представлен выражением

для ПИ- и ПИД-регуляторов (2.79а)

для И-регулятора (2.79б)

Тогда из выражений (2.70), (2.72), (2.78) следует, что оптимальные настройки астатических регуляторов сводятся к получению максимального коэффициента усиления K’_c преобразованной системы, согласно (2.79), а для П- и ПД-регуляторов- к получению максимума K_c, соответствующего выражению:

K_c= K_обK_p (2.80)

Так как в пределе K’_c и K_c могут быть увеличены до K_кр соответствующей системы, то отсюда целесообразно выбрать в качестве критерия оптимальности критерий K_кр, который следует максимизировать.