Сравнение двух экспериментальных распределений
На практике значительно чаще встречаются задачи, в которых необходимо сравнивать не теоретическое распределение с эмпирическим, а два и более эмпирических распределения между собой. Ниже будут рассмотрены типичные варианты задач, предусматривающих сравнение экспериментальных распределений (данных) и способы их решения с использованием критерия хи-квадрат.
В этих задачах с помощью критерия хи-квадрат проводится оценка однородности двух и более независимых выборок и таким образом проверяется гипотеза об отсутствии различий между двумя и более эмпирическими (экспериментальными) распределениями.
Исходные данные двух эмпирических распределений для сравнения между собой могут быть представлены разными способами. Наиболее простой из этих способов: так называемая «четырехпольная таблица». Она используется в тех случаях, когда в первой выборке имеются два значения (числа) и во второй выборке также два значения (числа). Критерий хи-квадрат позволяет также сравнивать между собой три, четыре и большее число эмпирических величин. Для расчетов во всех этих случаях используются различные модификации формулы , что позволяет существенно облегчить процесс вычисления.
Начнем изучение сравнения двух эмпирических распределений с самого простого случая — использования четырехпольной таблицы.
Задача 3. Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в двух школах, если в первой школе из 100 человек поступили в вуз 82 человека и во второй школе из 87 человек поступили в вуз 44?
Решение. Условия задачи можно представить в виде четырехпольной таблицы 8.6 ячейки которой, обозначаются обычно как А, В, С и D:
Таблица 5.
Школа 1 | Школа 2 | |
Число поступивших в вуз | А 82 | В 44 |
Число не поступивших в вуз | С 18 | D 43 |
Сумма |
Согласно данным, представленным в таблице 5, в нашем случае имеется четыре эмпирические частоты, это соответственно 82, 44, 18 и 43. Для того чтобы можно было использовать формулу , необходимо для каждой из этих эмпирических частот найти соответственные «теоретические» частоты.
Из таблицы 5 следует, что 18 и 43 человека из первой и второй школ соответственно не поступили в вуз. Относительно этих величин подсчитывается величина Р. Это так называемая доля признака, или частота. В данном случае признаком явилось то, что выпускники не поступили в вуз. Величина Р подсчитывается по формуле (8.5) следующим образом:
.
Величина Р позволяет рассчитать «теоретические» частоты для третьей строчки таблицы 8.6, которые обозначим как и .
Эти частоты показывают, сколько учащихся из первой и второй школ не должны были поступить в вуз. Они подсчитывается следующим образом:
для первой школы
для второй школы
Иными словами, из первой школы не должны были поступить в вуз 33 человека, а из второй 28,71. (Для большей точности вычислений по методу хи-квадрат желательно не округлять результаты вычислений, а сохранять сотые и даже тысячные значения после запятой). Исходя из вновь полученных «теоретических» частот — 33 и 28,71, мы можем произвести расчет того, сколько учащихся должны были бы теперь поступить в вуз из первой и второй школ. Обозначим эти частоты как для первой и для второй школ, получим соответственно:
для первой школы 100 - 33 == 67
для второй школы 87 - 28,71 = 58,29
Перепишем полученные «теоретические» частоты в новую таблицу 6.
Таблица 6.
Школа 1 | Школа 2 | |
Число учащихся, которые должны были бы поступить в вуз | А =67 | В =58,29 |
Число учащихся, которые не должны были бы поступить в вуз | С =33 | D =28,71 |
Сумма |
Вычислим , из величин табл. 5 вычитаются величины табл. 6:
В данном случае число степеней свободы v = (k-1)•(с-1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами, v = (2-1)•(2-1)=1, поскольку у нас 2 строки и два столбца. И в соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:
Полученная величина попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Н1, о наличии различий между двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уровень подготовленности учащихся в двух школах оказался разным. На основе эмпирических данных мы можем теперь утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе существенно выше, чем во второй. Без использования критерия хи-квадрат такого вывода мы сделать бы не могли.
Решим задачу, в которой сравниваются две выборки, имеющие по четыре значения каждая.
Задача 4. Вдвух школах района выяснялась успешность знания алгебры учащимися десятых классов. Для этого в обеих школах были случайным образом отобраны 50 учащихся и с ними проведены контрольные работы. Проверялось предположение о том, что существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.
Решение. Результаты контрольных работ представим сразу в виде таблицы:
В таблице 7 О11— число учащихся первой школы, получивших оценку 2 в контрольной работе по алгебре, О12 — число учащихся первой школы, получивших оценку 3 в контрольной работе по алгебре, О13 — число учащихся первой школы, получивших оценку 4 в контрольной работе по алгебре и т.д.
Подчеркнем, что «визуальный» анализ данных таблицы 7 показывает, что во второй школе число «двоечников» в три раза больше, чем в первой, и, наряду с этим, число «отличников» в два раза меньше, чем в первой школе. Казалось бы, можно сделать вывод о том, что вторая школа показывает существенно худшие результаты, чем первая. Однако подобные утверждения можно делать только на основе статистической обработки экспериментальных данных.
В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи-квадрат осуществляется по формуле (8.7), являющейся модификацией формулы (8.2):
.
Подставим данные нашего примера в формулу, получим:
Число степеней свободы в данном случае равно v = (k-1)• (с-1) = (2 - 1) • (4 - 1) = 3. По таблице 12 Приложения 1 находим:
Полученные различия попали в зону незначимости. Иными словами следует принять нулевую гипотезу о сходстве или о том, что уровень знания учащимися алгебры в двух разных школах статистически значимо не отличается между собой. Выше, при простом визуальном анализе экспериментальных данных мы высказывали предположение, что во второй школе успеваемость учащихся по алгебре существенно хуже, чем в первой, однако, критерий хи-квадрат показал, что это далеко не так.
Замечание. Число переменных в сравниваемых выборках может быть достаточно большим. В этом случае целесообразно использовать специальный прием группировки значений по интервалам. Число интервалов удобнее всего получать, используя таблицу 8.
Таблица 8.
Число значений переменной (от – до) | Число интервалов |
25 - 40 | 5 - 6 |
40 – 60 | 6 – 8 |
60 – 100 | 7 – 10 |
100 - 200 | 8 – 12 |
10 -15 |
Рассмотрим задачу, в которой сравниваются две выборки, и в которых значений переменных столь много, что предыдущие способы сравнения оказываются трудновыполнимыми.
Задача 5. Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Вопрос: различаются ли между собой эти два распределения?
Решение.Представим эмпирические данные в виде таблицы 8.12, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения .
Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (8.8):
Где f1 частоты первого распределения, а f2 — частоты второго. N— число элементов в каждой выборке. В нашем случае в каждой из выборок оно равно 200.
Произведем расчет по формуле (8.8), основываясь на результатах таблицы 8.12:
В данном случае число степеней свободы v = (k - 1) ·(с -1) =(9 - 1) · (2 - 1) = 8, где k - число интервалов разбиения, а с- число столбцов. В соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:
Полученные различия попали в зону неопределенности. Психолог может, как принять, так и отклонить гипотезу .
Рассмотрим еще одну аналогичную задачу, в которой число значений в каждой из выборок различно. В этом случае используют другую формулу расчета.
Задача 6.Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разное количество испытуемых. Вопрос - различаются ли между собой эти два распределения?
Решение. Представим эмпирические данные сразу в виде таблицы 8.13, отметив при этом, что число градаций IQ увеличилось, в отличие от таблицы 8.12, до 150.
В таблице 8.13 произведены предварительные расчеты, необходимые для вычисления эмпирического значения критерия xu-квадрат при условии разного числа испытуемых в первой и второй выборках. В этом случае расчет производится по формуле (8.9):
Где частоты первого распределения, а — частоты второго. N — сумма числа элементов в первой nl и второй п2 выборках. В нашем случае оно равно 177 = 124 + 53, а сумма уже подсчитана в нижней строчке последнего столбца таблицы 8.13. Осталось произвести расчет по формуле (8.9.)
В данном случае число степеней свободы v = (k - 1) ·(с - 1) = (10 - 1) · (2 - 1) = 9, где k - число интервалов разбиения, а с - число столбцов. В соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:
Полученная величина эмпирического значения хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу о том, что распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо отличаются между собой.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 2464;