Число обусловленности матрицы системы как мера чувствительности задачи о решении СЛАУ к возмущающим воздействиям

Определение. Величину

(10)

называют числом обусловленности матрицы по отношению к используемой матричной норме .

Для невырожденной матрицы .

Определение. Матрица называется хорошо обусловленной, если , и плохо обусловленной, если .

Замечание. Из (10) вытекает, что значение числа обусловленности матрицы зависит от выбранной для его вычисления матричной нормы, но если матрица будет хорошо (плохо) обусловленной в какой-либо матричной норме, то она сохранит это свойство и в любой другой матричной норме.

В силу наличия погрешностей при решении СЛАУ, можно считать, что получаемое приближенное решение для СЛАУ (5) является точным решением, но некоторой другой – возмущенной – СЛАУ:

,

где матрица и вектор - малые ошибки в начальных данных. можно показать, что относительная погрешность решения СЛАУ (5) может быть оценена выражением:

.

Таким образом, число обусловленности матрицы системы является мерой чувствительности задачи о решении СЛАУ к погрешностям в начальных данных.

Определение. Пусть приближенное решения СЛАУ (5), тогда в общем случае . Назовем вектором невязки вектор , определяемый в соответствии с формулой:

.

Вопрос: Если элементы вектора невязки близки к нулю, следует ли из этого, что близко к точному решению СЛАУ (5)?

В общем случае ответ на поставленный вопрос – НЕТ. Покажем это:

.

Поскольку равны векторы , то равны и их нормы:

,

тогда

. (15)

Из (5) получаем, что

. (20)

Перемножим почленно неравенства (15) и (20):

. (25)

Поскольку СЛАУ является неоднородной, то и , а следовательно и . Разделим обе части неравенства (25) на :

. (30)

Из соотношения (30) вытекает, что из «малости» нормы вектора невязки малая относительная погрешность решения СЛАУ следует только тогда, когда матрица СЛАУ является хорошо обусловленной. В противном случае, даже когда выводов о качестве полученного приближенного решения сделать нельзя: за счет большого значения может быть далеко от истинного решения даже при .

Вопросы