Первый закон Кирхгофа. // Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов
// Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение
(1) |
где - вектор плотности тока; - нормаль к участку dSзамкнутой поверхности S.
Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать
.
Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:
(2) |
т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.
При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.
Введем столбцовую матрицу токов ветвей
I= |
Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:
АI=O | (3) |
– где O- нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.
В качестве примера запишем для схемы на рис. 3
Отсюда для первого узла получаем
,
что и должно иметь место.
2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.
Элемент bijматрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi.
Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.
.
Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.
Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.
(4) |
Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:
Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.
Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:
(5) |
- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.
Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей
U= |
Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид
BU = 0. | (6) |
В качестве примера для схемы рис. 5 имеем
,
откуда, например, для первого контура получаем
,
что и должно иметь место.
Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов
= |
причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением
U=AТ | (7) |
где AТ - транспонированная узловая матрица.
Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В= (-АТСА-1ТД1).
3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.
Матрица Q, составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Qравно числу независимых сечений.
Элемент qij матрицыQ равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение.
В качестве примера составим матрицу Qглавных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем
В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения
АВТ= 0; | (8) |
QВТ= 0, | (9) |
которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .
Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.
Литература
1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.
2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.
3. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
- Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
- Что такое узловая матрица?
- Что такое контурная матрица?
- Что такое матрица сечений?
- Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе независимых уравнений:
.
Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера.
Ответ:
B= | Q= |
- Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано ветвями 2, 1 и 5
Ответ:
B= |
- Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9).
Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 912;