ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ И ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

Основная трудность возникающая при экспериментальном исследовании конвективного теплообмена, заключается в том, что коэффициент теплоотдачи за­висит от многих параметров. Например, средний по поверхности коэффициент теплоотдачи от продольно омываемой пластины (см. рис. 9.2) зависит от длины пластины l, скорости набегающего по­тока w_ж и теплофизических параметров жидкости:

α = f₁( l w_ж , λ, c, ρ, ν ) [111]

Вт /м^2. К м м/с Вт/м^.К Дж/кг^.К кг/м³ м²/с

Если проводить эксперименты, изме­няя т раз каждый из шести параметров, влияющих на теплообмен, то суммарное число экспериментов будет N = m⁶, т. е. порядка 10⁶.

Теория показывает, что число пара­метров зависит от выбора единиц изме­рения. Наименьшее число параметров получится, если единицы измерения бу­дут связаны с самой решаемой задачей. Так, в качестве единицы длины можно принять не метр, а длину пластины l. Для перевода всех параметров в «но­вую» систему единиц измерения поделим их на l в той же степени, в которой длина входит в их размерность:

αl² = f₁( l/l w_ж /l, λ/l, c, ρ/l³, ν/l² [112]

Вт /К - 1/с Вт/ К Вт^.с/кг^.К кг 1/с

Число параметров в правой части уравнения уменьшилось, так как l / l=1 т. е. мы избавились от того параметра, который приняли за единицу измерения. Если теперь ввести еще три «новых» еди­ницы измерения: для времени l²/v, для массы рl³ и, наконец, для отношения тепловой мощности к перепаду темпера­тур λl (в рассматриваемой системе вели­чин единицы Вт и К раздельно не встре­чаются, а входят лишь в комбинации Вт/К), то в правой части рассматривае­мой зависимости останется всего два безразмерных параметра:

αl/λ = f₃ (w_жl /ν, cρν/λ) [113]

Такие же безразмерные параметры получаются и при анализе теплоотдачи от поверхности трубы, но определяющим размером в них будет не длина l, а диа­метр d, соответственно внутренней — при течении жидкости внутри трубы и наружный — при наружном обтекании одной трубы или пучка труб.

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (π-теореме) зави­симость между N размерными величина­ми, определяющими данный процесс, мо­жет быть представлена в виде зависимо­сти между составленными из них N — К безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с неза­висимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении [111] общее число пере­менных (включая и а) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения) соответственно без­размерных чисел в уравнении [113] N – K = 7-4 = 3.

Каждый из безразмерных парамет­ров имеет определенный физический смысл. Их принято обозначать первыми буквами фамилий ученых, внесших су­щественный вклад в изучение процессов теплопереноса и гидродинамики, и на­зывать в честь этих ученых.

Число Нуссельта (1887—1957 гг.): Nu = αl/λ [114]

представляет собой безразмерный коэф­фициент теплоотдачи.

Число Рейнольдса (1842-1912) Re = w_жl /ν выражает отношение сил инерции (ско­ростного напора) F_и = ρw /2 к силам вяз­кого трения F_μ~μw_ж/l.

Безразмерные комплексы обычно не являются точным отношением каких-то сил, а лишь качественно характеризуют их соотношение.

При малых числах Re преобладают силы вязкости и режим течения жидко­сти ламинарной (отдельные струи потока не перемешиваются, двигаясь парал­лельно друг другу, и всякие случайные завихрения быстро затухают под дей­ствием сил вязкости). При турбулентном течении в потоке преобладают силы инерции, поэтому завихрения интенсивно развиваются.

При течении жидкостей в трубах (см. рис. 9.4) ламинарный режим на ста­билизированном участке наблюдается до Re_Kp = wd/v = 2300, а при Re > 10⁴ уста­навливается развитый турбулентный ре­жим (здесь d — внутренний диаметр трубы).

Число Прандтля (1875—1953):

Pr = cρv/λ [115]

состоит из величин, характеризующих теплофизические свойства вещества и по существу само является теплофизической константой вещества. Значение чис­ла Рг приводится в справочниках {15}.

В случае естественной конвекции скорость жидкости вдали от поверхности w_ж = 0 и соответственно Re = 0, но на теплоотдачу будет влиять подъемная сила F_п. Это приведет к появлению другого безразмерного параметра — числа Грасгофа:

Gr = gβ(t_c-t_ж)/l³/ v². [116]

Оно характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие теплового расширения жидкости, к силам вязкости.