Синфазные и квадратурные составляющие.

В радиотехнических задачах важную роль играет особый класс случайных процессов, спектральная плотность мощности которых имеет частоты , отличают от нуля. Функция корреляции узкополосного случайного процесса по теореме Винера – Хинчина

(1) заменим переменную , тогда (2) заменим - на тогда:

(3)

(4) – чётная функция

– нечётная функция.

Удобно ввести нормированную огибающую S ( ) функции корреляции узкополосного случайного процесса определив её тогда (5)

Из 5 следует, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса могут представлять квазигармонические колебания:

(6)

У которой огибающая U(t) и начальная фаза (t). Представим 6 как сумму синфазной и квадратурной составляющей:

(7)

Введём случайный процесс Y(t), сопряжённой с исходными процессами X( ). Его реализацией являются преобразования Гильберта.

(8)

Из 7 и 8 можно получить:

(9)

От туда для мгновенных значений огибающей (10) и начальной фазы:

(11)

Статические свойства сопряженного процесса.

Если то и так же равно нулю, пусть X(t) гауссов процесс, а преобразование Гильберта, то Y(t) – тоже гауссов процесс. Если спектральная плотность реализации x(t), то (12).

Модули спектральной плотности совпадают т.е. отсюда:

(13) и процесс Y(t) – стационарен. Функцию взаимной корреляции можно определить:

(14) – это нечто иное как преобразование Гильберта от X(t).

(15)

(16)

2.Корреляцтонные свойства синфазной и квадратурной амплитуд.

Пусть A(t) и B(t) – выражаются следующим образом:

(17)

Определим корреляцию процесса A.

(18).

С учётом 2 и 16, 18 можно выразить (19).

Аналогично (20) и (21). Если то (22).