Свойства равномерно сходящихся рядов.

До сих пор при изучении последовательностей и рядов функций эти функции предполагались заданными на произвольном множестве . Теперь мы перейдем к изучению свойств непрерывности, дифференцируемости, в связи с чем на множество будут накладываться различные ограничения.

Если функции , , непрерывны в т. и ряд равномерно сходится на , то его сумма также непрерывна в т. .

Доказательство:

Зафиксируем произвольно . Пусть , - частичные суммы ряда. По условию теоремы . Это значит, что существует такой номер , что для всех точек выполняется неравенство: .

Зафиксируем номер . Функция , являясь конечной суммой непрерывных (по условию теоремы) в т. функций , ,…, , сама непрерывна в этой точке. Поэтому , что для всех точек , удовлетворяющих , выполняется неравенство:

в силу этого для т. имеем:

=

.

Это и означает непрерывность функции в т. .

В условиях теоремы в т. для ряда возможен почленный переход к пределу, т.е.

= .

Пусть функции , , непрерывны на и ряд равномерно сходится на этом отрезке. Тогда, какова бы ни была точка , ряд (6) также равномерно сходится на и = (Равенство означает, что в условиях этой теоремы ряд можно почленно интегрировать).

Доказательство:

В силу равномерной сходимости ряда и непрерывности его членов на его сумма

=

также непрерывна на этом отрезке (свойство ), а , и интегрируема по Риману на любом отрезке с концами в точках и .

Покажем, что ряд (6) равномерно сходится к функции

=

Как всегда, положим

,

а через обозначим частные суммы ряда (6)

= = =

Имеем

= = =

=

Т.е. , ряд (6) равномерно сходится на отрезке и его сумма равна : = или

=

Пусть функции , непрерывно дифференцируемы на и ряд, составленный из их производных: равномерно сходится на отрезке . Тогда, если ряд сходится хотя бы в одной точке , то он сходится равномерно на всем отрезке , его сумма = является непрерывно дифференцируемой функцией и = =

Доказательство:

Положим =

По свойству этот ряд можно почленно интегрировать:

= = = . – этот ряд в силу свойства равномерно сходится на .

По условию теоремы числовой ряд сходится, причем равномерно. Сумма двух равномерно сходящихся на рядов:

+ =

также, очевидно, равномерно сходится на . В силу этого формулу можно записать в виде

= - или = .

Функция является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на , и поэтому она сама непрерывна на этом отрезке, а тогда функция непрерывно дифференцируема на и

=

Это и означает, что функция непрерывно дифференцируема и что

= = = .