Г. Б. Иосилевич и др.

центра кривизны кривой, несложно показать, что точка N прямой NB будет центром кривизны эвольвенты (мгновенным центром вращения), а отрезок NB - радиус кривизны эволь­венты в точке В.

Углы развернутости v, профиля а α и эвольвентный inv α (инволюта α), образуемые радиальными прямыми ОМ, ОВ и ON, связаны между собой зависимостью

inv α = v — α.

Так как дуга MN равна отрезку BN, перекатываемому по дуге без скольжения, то (MN = r_bv)

inv α = tg α — α.

Если учесть (r — радиус-вектор произвольной точки эволь­венты)

cos α = r_b/r,

то становится очевидным, что радиус r_b основной окружности является единственным параметром, определяющим эвольвенту. Зацепление эвольвентных профилей. Предположим, что тре­буется передать вращательное движение между параллельными осями О₁ и 0₂ (межосевое расстояние а_w) с постоянным передаточным отношением L Величины a_w и i определяют положение полюса зацепления П на отрезке O₁O₂ = a_w. С уче­том соотношения (20.4) несложно получить

(20.5)

Если в качестве профиля ведущего звена 1 принять эволь­венту Э₁ некоторой (произвольной) основной окружности диа­метром d_b1 (рис. 20.7) и через полюс П провести касатель­ную к этой окружности, то точка B₁ пересечения этой каса­тельной с профилем будет единственной точкой эвольвенты, для которой справедлив основной закон зацепления, и нормаль К эвольвенте N₁П проходит через полюс. Таким образом, точка В является единственно возможной точкой контакта дан­ного звена с сопряженным.

В других положениях звеньев точки контакта эвольвент также обязательно будут находиться на прямой, проведенной через полюс касательно к основной окружности. Линия за­цепления для эвольвентного профиля является прямой' и обеспечивает эвольвентному зацеплению существенное

преимущество перед зацеплениями других видов.

¹ Эвольвента — единственная кривая, дающая прямую линию зацепления.

Отметим, что прямой линии зацепления также соответствует только эволь­вентный профиль, и линия зацепления является общей для обоих профилей. Таким образом, сопряженный профиль ведо­мого звена 2 должен быть эвольвентным и его основная окружность должна быть касательной к линии зацепления.

Перпендикуляр O₂N₂ из центра О₂ на линию зацепления дает радиус г_ь2 основной окружности звена 2, определяющей эвольвенту Э₂ и точку В₂ на ней (совпадает с точкой B_t в данном положении).

По мере вращения звеньев с каждой точкой одного из профилей вступает в контакт вполне определенная (единст­венная) точка на втором профиле (см. точки C_t и С₂ на рис. 20.7).

Если ввести в рассмотрение угол α_w между линией зацеп­ления и перпендикуляром к линии центров {угол зацепления), то из рис. 20.7 следует

N₁П + ПN₂ = N₁B₁ + B₂N₂

или

(r_b1+ r_b2) tg α_w = r_b1 v_B1+ r _b2v_B2, (20.6)

где v_B1 и v_B2 — углы развернутости сопряженных точек B_t и В₂ на эвольвентах.

Уравнение (20.6) позволяет найти для любой заданной точ­ки на одном колесе сопряженную точку на другом колесе.

Существенно, что положение общей нормали (линии зацеп­ления) не изменяется, и она по-прежнему будет касаться основных окружностей. Положение полюса зацепления П на линии центров также остается неизменным при вращении колес. Из рис. 20.7 видно, что в процессе зацепления точка кон­такта перемещается по профилю ведущего звена, удаляясь от основной окружности, а по профилю ведомого звена — приближаясь к основной окружности. Но пути, проходимые точкой контакта по каждому из сопряженных профилей за равные промежутки времени, оказываются неравными. В ре­зультате при равномерном вращении колес точки контакта, двигаясь равномерно по линии зацепления со скоростью

будут перемещаться (в относительном движении) неравномерно по профилям зубьев, т. е. сопряженные профили перекаты­ваются один на другой со скольжением.

Отметим, что на каждом колесе имеется по одной соосной поверхности (цилиндр — в цилиндрической передаче), кото­рые касаются друг друга, и в любой точке касания (контакта) вектор относительной скорости равен нулю. Эти поверхности называют начальными, а концентрические окружности, принад­лежащие им,— начальными окружностями. Они описываются из центров и проходят через полюс. Из соотношений (20.5) следует, что диаметры начальных окружностей

(20.7)

Диаметр начальной окружности связан с диаметром основ­ной окружности соотношением (см. рис. 20.7)

(20.8)

Окружная скорость точки на начальной окружности

Межосевое расстояние передачи можно выразить и через диаметры основных окружностей

. (20.9)

Это уравнение характеризует зацепление двух зубьев с эвольвентными профилями. В реальном зубчатом зацеплении одновременно могут контактировать несколько пар зубьев. Если ввести в рассмотрение шаг р_ь по основной окружности — расстояние между соседними эквидистантными профилями по дуге основной окружности, то из равенства координат сопря­женных точек зубьев следует, что одновременный контакт нескольких пар зубьев возможен при условии

P _b1 = Р _b2,

где р_b1 и р _b2 — шаги по основной окружности первого и вто­рого колес.

Из уравнения (20.9) следует также:

а) пара эвольвентных профилей с заданными диаметрами d_b1
и d_b2 может зацепляться при различных межосевых рас­стояниях а_w

б) эвольвента заданной основной окружности d_bl может
сцепляться с эвольвентами любых основных окружностей d_b2
при одних и тех же или при различных α_w;

в) эвольвентные колеса с любыми числами зубьев могут
сцепляться друг с другом, если их шаги равны;

Рис. 20.8. Активная линия зацепления

г) эвольвентные колеса могут сопрягаться с рейкой, имею­щей произвольный угол профиля, если их основные шаги равны.

Коэффициент перекрытия. Отметим точки Р₁ и Р₂ пересе­чения окружностей вершин колес с линией зацепления (рис. 20.8, а). Тогда эти точки будут обозначать начало входа и конец выхода из зацепления пары зубьев, а участок Р₁Р₂ соответ­ствует активной линии зацепления.

Для сохранения свойственного эвольвентному зацеплению постоянного передаточного отношения необходимо, чтобы сле­дующая пара зубьев вступала в зацепление в точке Р₁ в тот момент (или ранее), когда точка контакта предыдущей пары зубьев придет в точку Р₂ (рис. 20.8,6). Следовательно, длина активной линии зацепления должна быть не менее основ­ного шага.

Отношение длины активной линии зацепления к основ­ному шагу

называют коэффициентом перекрытия. Для обеспечения непре­рывности вращения рекомендуется ε_α > 1,2.

Исходный и рабочий контуры рейки. Для единообразного изготовления зубчатых колес и обеспечения их взаимозаме­няемости в передачах параметры зацепления стандартизованы. В основу стандарта положен реечный контур (рис. 20.9), так как рейка сохраняет постоянный угол зацепления в паре с колесом любого радиуса и при любом относительном поло­жении колес.

Рис. 20.9. Исходный и рабочий контуры зубчатой рейки по ГОСТ 13755—81 (ДП — делительная прямая)

Этот контур называют теоретическим исходным контуром. Одним из основных параметров контура является модуль*

т = р/π, (20.10)

измеряемый в мм и регламентированный ГОСТ 9563-60. В соотношении (20.10): р — шаг исходного контура, расстоя­ние между одноименными профилями соседних зубьев рейки по делительной или другой, параллельной ей прямой. Дели­тельной прямой называют прямую, на которой теоретическая толщина зуба равна ширине впадины.

Стандартом предусмотрен широкий набор модулей, обес­печивающий потребности приборов в миниатюрных зубчатых передачах, а также потребности машин в крупногабаритных передачах.

Для модулей свыше 1 мм исходный контур (ГОСТ 13755 — 81) является прямобочным и имеет следующие пара­метры (рис. 20.9, а). Профильный угол α = 20°, глубина захода h₁ = 2h_α*m (здесь h_α* = 1 — коэффициент высоты головки зуба); толщина зуба по делительной прямой S = 0,5р; радиальный зазор с — с*т (здесь с* = 0,25 — коэффициент радиального за­зора) и радиус закругления у корня зуба р_i = 0,384m.

* Предпочтительный ряд значений модуля т в диапазоне от 1до 12 мм: 1;1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4;5; 6; 8; 10; 12.

Рис. 20.10. Изготовление зубчатых колес копированием с помощью фрез (я и б)

и обкаткой с помощью долбяка и гребенки(виг):

/ — пальцевая фреза; 2 — дисковая фреза; 3 — долбяк; 4 — гребенка

Для обеспечения плавного вхождения зубьев в зацепление и сни­жения динамических нагрузок на вершине зубьев исходного контура преднамеренно отступают от теоретической эвольвентной формы, выполняя срез профиля — фланк (рис. 20.9, б). Расчетный контур с фланком называют номинальным исход­ным контуром (рабочим контуром).

Однозначность перечисленных основных параметров делает исходные контуры различных модулей геометрически подоб­ными.

Изготовление колес. Зубчатые колеса изготовляют преиму­щественно методами резания на универсальных фрезерных и специальных станках. Зубья нарезают либо методом копи­рования, либо методом огибания (обкатки).

При использовании метода копирования впадина между зубьями вырезается специально спрофилированным инстру­ментом — фрезой, протяжкой, шлифовальным кругом (рис. 20.10).

Для нарезания зубьев методом обкатки применяют спе­циальный инструмент — рейку, долбяк, червячную фрезу. Инструменту и нарезаемому колесу на специальных станках сообщается такое же относительное движение, как и в реаль­ном зацеплении. Основное преимущество такого метода изго­товления — высокая точность.

Мелкомодульные зубчатые колеса иногда изготовляют накатыванием зубьев (обработкой давлением).

Точность изготовления.Для обеспечения требуемого каче­ства передач разработаны показатели точности. Так, ГОСТ 1643 — 81 устанавливает допуски цилиндрических зубчатых пе­редач с модулями m = 1 -г- 50 мм, обеспечивающими 12 сте­пеней точности передач (самая низкая степень точности — две­надцатая). Требуемая степень точности определяется уровнем скоростей колес и действующих нагрузок. Быстроходные пере­дачи (окружная скорость колеса v > 20 м/с) изготовляют с повышенной точностью (степени точности 6 и 5).

§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ ПРЯМОЗУБЫХ ПЕРЕДАЧ

Размеры колеса. Рассмотрим зацепление зубчатого колеса модуля т с числом зубьев z с инструментальной рейкой в конце обработки (рис. 20.11). Предположим, что наре­зание зубьев происходило при радиальном смещении на вели­чину тх (х — смещение рабочего контура рейки относительно колеса), что эквивалентно смещению делительной прямой (ДП) рейки относительно начальной прямой (НП) на ту же вели­чину.

Так как начальная (станочная) окружность в процессе на­резания на колесе зубьев катится без скольжения по началь­ной прямой рейки, то на этой окружности шаг рейки дол­жен уместиться z раз (z — число нарезаемых зубьев), т. е.

z=nd/p.

Окружность, на которой шаг равен шагу рейки, на­зывают делительной окружностью. Так как отношение р/π = = т, то

d = mz. (20.11)

Диаметр основной окружности

d_b = mz cos a,

где а — угол профиля исходного контура.

Диаметр окружности впадин (см. рис. 20.11)

d_f = mz - 2 (h_a* + с* - х)т,

а диаметр окружности вершин

d_a = d_f + 2h = mz + 2(h_a* + x)m.

Толщина зуба по делительной окружности равна ширине впадины рейки по начальной прямой

Высота зуба (рис. 20.12) h = 0,5 (d_a - d_f), высота головки зуба h_a = 0,5 (d_a - d) и высота ножки зуба h_f = 0,5 (d - d_f).

Из формул видно, что диаметры колес, кроме d и d_b, зависят от смещения про­изводящего контура. Услов­но считают смещение поло­жительным, если при изго­товлении колеса делительная прямая производящей рейки не пересекает и не касается делительной окружности ко­леса (см. рис. 20.11). При отрицательном смещении (х < 0) делительная прямая

рейки пересекает, а при х = 0 (нарезание без смещения) касается делительной окружности колеса. Смещение изменяет форму зуба (рис. 20.13). Так, положительное смещение приводит к утолщению зуба у основания и уменьшению кривизны профиля, так как зуб очерчивается более удаленным от основной окруж­ности участком эвольвенты. Такие изменения формы способ­ствуют повышению его прочности.

Благодаря смещению инструмента удается снизить мини­мально допускаемое число зубьев на колесе без утонения (подрезания) их у основания.

Межосевое расстояние. Различают зубчатые колеса и пере­дачи со смещением и без смещения. Передачи без смещения имеют x₁= х₂ = 0 (здесь х₁ и х₂ — смещения первого и вто­рого колес). В таких передачах угол зацепления α_w численно равен углу профиля исходного контура а, а межосевое рас­стояние (см. рис. 20.12)

(20.12)

В таких передачах начальные окружности совпадают с де­лительными (d_w1 = d₁ и d_w2 = d).

Передачи со смещением образуются из колес, нарезанных со «смещением.

Если коэффициенты смещения колес х₁ и х₂ равны по величине, а знаки их противоположны, то х_∑ = х₁+ х₂ = 0. Такая передача называется равносмещенной и для нее, как и в передаче без смещения, a_w = a, α_w = α и d_w = d.

Если х_∑≠ 0, то в такой передаче со смещением угол за­цепления α_w ≠α и межосевое расстояние

(20.13)

Межосевые расстояния для стандартных редукторов стан­дартизованы (a_w = 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 180; 200; 225; 250; 280; 315; 400; 450; 500 мм). Для нестандартных передач можно не придерживаться этих значений.

Межосевые расстояния можно округлять за счет некото­рого отклонения передаточного числа (за счет изменений z₂).

Для «вписывания» прямозубой передачи в заданное меж­осевое расстояние можно воспользоваться изменением угла зацепления ot_w (за счет смещения), который находят из очевид­ного соотношения

Геометрическому расчету передачи обычно предшествует кинематический расчет (определение передаточного числа и и др.) и назначение (определение) ряда исходных параметров, с помощью которых далее находят необходимые размеры. К таким параметрам можно отнести число зубьев шестерни z_t. Если принять Z_1min, то и межосевое расстояние (габариты пе­редачи) при заданных параметрах и, т и α_w будет наи­меньшим.

При нарезании зубьев без смещения можно изготовить колесо лишь с z_1min= 17. Вводя смещение инструмента, полу­чают z_1min= 12 и менее.

На практике минимальное число зубьев шестерни назна­чают с учетом технологических факторов, а также кинема­тических параметров (плавность работы и др.). Для колес, нарезаемых без смещения, в зависимости от частоты враще­ния п₁ рекомендуется принимать:

п₁,об/мин .... менее 100 100-500 500-1000 св. 1000

Z_{1min.....................................} 17-18 18-22 22-24 24-26

При назначении числа зубьев колеса z₂ — uz₁ также учиты­вают предшествующий опыт проектирования и эксплуатации передач: при невысоких окружных скоростях колес (v < 6 м/с) и постоянной нагрузке числа зубьев колес передачи принимают кратными друг другу или с возможно большим числом об­щих множителей для ускорения их приработки. При высо­ких окружных скоростях (v > 6 м/с) и переменной нагрузке принимают взаимно простые числа зубьев или с возможно меньшим числом общих множителей.

Расчет геометрических параметров цилиндрических зубчатых передач выполняют по ГОСТ 16532 — 70.

§ 6. ОСОБЕННОСТИ ГЕОМЕТРИИ КОСОЗУБЫХ И ШЕВРОННЫХ КОЛЕС

У косозубых (рис. 20.14, а) и шевронных (рис. 20.14,6) колес зубья наклонены под некоторым угол ом р к образую­щей делительного цилиндра, но оси колес являются при этом параллельными.

Направление наклона линии зуба можно определить, глядя на цилиндрическую поверхность венца. Если при этом виден зуб, поднимающийся слева направо, то такое направление считают правым. Обычно зуб шестерни делают правым, а ко­леса — левым (направления зубьев сопряженных колес всегда противоположны).

Нарезание косозубых и шевронных колес может произво­диться прямозубой рейкой, как и при изготовлении прямо­зубых колес: наклон зуба получают соответствующим пово­ротом инструмента относительно заготовки на угол β. При этом профиль косого зуба в нормальном к его оси сечении будет таким же, как и в прямозубом колесе.

Картина зацепления косозубых колес в торцовой плоскости будет такой же, как и для прямозубых колес, но параметры косозубого колеса в этой плоскости будут зависеть от угла β ;

(20.14)

где m_t и р_t- соответственно торцовые (окружные) модуль и шаг зубьев; т_n и р_n — то же, в нормальном к оси зуба сече­нии; d — диаметр делительной окружности; a_w — межосевое расстояние.

Рис. 20.14. Косозубое (а) и шевронное (б) колеса

В передаче со смещением межосевое расстояние находят по формуле (20.13) путем замены в ней т на m_t, α_w на α_wt и α на α_t.

Нарезание косозубых и шевронных колес может произво­диться также и стандартной косозубой рейкой, обкатывающей заготовку в процессе резания в плоскости вращения колеса.

В косозубой рейке различают (рис. 20.15): торцовый шаг р_t , нормальный р_n и осевой р_х и соответствующие им модули: нормальный т_п, торцовый m_t и осевой т_х:

Эти модули связаны зависимостями

где Р — угол наклона зубьев.

Угол профиля α_t в торцовой плоскости не равен углу α_n в нормальном к оси зуба сечении косозубой рейки, так как при постоянной высоте зуба шаги p_t и р_n не равны:

Таким образом, при нарезании прямозубой рейкой колесо будет иметь стандартный нормальный модуль т_п, а торцо­вый модуль может быть нестандартным (произвольным).

При нарезании косозубой рейкой стандартным будет лишь модуль т_t , а модуль т_п в общем случае может оказаться нестандартным.

Однако угол β можно выбрать таким, чтобы оба модуля оказались стандартными. Такие инструменты используются для изготовления шевронных колес.

Рис. 20.15. Контур косозубой рейки Рис. 20.16. Эквивалентное колесо

Существенно, что прочность зуба определяют его размерыи форма в нормальном к зубу сечении, образующем эллипс с полуосями c = d/2 и e = 0,5dcosβ (рис. 20.16). Радиус кри­визны эллипса r_v = е²/с = d/cos²β). В цилиндрическом прямо­зубом колесе с диаметром делительной окружности

d_v = 2r_v = d/(cos² β)

форма зуба будет такой же, как и в нормальном к зубу сечении косозубого колеса. Число зубьев в таком эквивалент­ном колесе

С увеличением угла β наклона линии зуба эквивалентные параметры возрастают, способствуя повышению прочности передач.

Зацепление косозубых колес отличается от зацепления пря­мозубых колес тем, что в каждом сечении, параллельном торцовой плоскости, фаза зацепления не одинакова.

Линия контакта зубьев является также прямой, лежит в плоскости зацепления и наклонена к образующей основного цилиндра на угол β_b (рис 20.17, tg β_b = tg β cos α_t). В ре­зультате возрастает длина линии контакта. Так, если в не­который момент на одном торце зуба зацепление заканчи­вается (см. рис. 20.17), то для выхода из зацепления дру­гого торца того же зуба линия контакта должна переместиться в положение, показанное штриховой прямой, на Δq=b tg β_b .

Отношение ε_β = Δq/p_bt называют осевым коэффициентом перекрытия, а отношение ε_α = q_α/p_bt— торцовым коэффициентом перекрытия. Таким образом, коэффициент перекрытия косо­зубых колес

ε= ε_α + ε_β.

Благодаря увеличению длины контактных линий (коэффициента перекрытия) косозубые колеса прочнее прямозубых,
работают плавно и менее шумно. Их целесообразно применять в быстроходных передачах.

Угол β наклона линии зуба назначают в пределах 8 — 20°, для шевронных колес β < 40°. Менее 8° угол β выполнять не следует, так как в этом случае утрачиваются указанные выше преимущества косозубых передач перед прямозубыми.

Рис. 20.17. Поле зацепления косозубого колеса

При увеличении угла β свыше 20° габариты опор ста­новятся чрезмерно большими из-за возрастания осевой состав­ляющей усилия в зацеплении.

Часто, например, в соосных передачах величину угла β наклона линии зуба устанавливают из условия размещения («вписывания») передачи в заданном межосевом расстоянии a_w при фиксированных значениях и_w, т_n и z₁. Тогда из фор­мулы (20.14) следует

Значение угла β в заданных пределах при постоянных a_w и и можно получить изменением z₁ и т_п.