Лекция 7. § 141. Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с двумя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые линии.

Аналитическая геометрия.

Глава 11. Линии второго порядка, заданные общими уравнениями

Лекция 7. § 141. Теорема о том, что всякое уравнение второй степени с двумя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые линии.

Общее уравнение линии второго порядка записывается в следующем виде:

Все коэффициенты обозначены одной буквой с индексами, указывающими, какая координата в какой степени умножается на этот коэффициент ( -коэффициент при и т.д.). Через обозначены, соответственно, половины коэффициентов перед и для симметрии последующих формул. Все коэффициенты считаются действительными числами.

Теорема 1. Общее уравнение линии второго порядка

заданной относительно Декартовой прямоугольной системы координат, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов:

I. где II. где

III. где

Эти уравнения называются простейшими уравнениями линии второго порядка.

Доказательство. Докажем сначала, что можно повернуть оси на такой угол , что в преобразованном уравнении коэффициент при произведении новых координат обратится в нуль.

Итак, предполагая, что , повернём оси пока на произвольный угол . Тогда координаты и точки в системе через координаты и той же точки в системе будут

,

.

А общее уравнение примет вид

.

Или:

где: ,

,

,

, .

Условие принимает вид:

,

Откуда: . (2)

При повороте на угол , определяемый этим соотношением, в преобразованном уравнении коэффициент обратится в нуль и оно примет вид: (3)

I случай. Пусть , . В уравнении (3) выделим полные квадраты по переменным и : Производя перенос осей координат так, чтобы новым началом координат стала точка (координаты этой точки даны относительно системы ) и, обозначая новую систему координат через будем иметь: , . Так что уравнение (3) примет вид: ,

где .

II случай. Пусть или , ; или , . Предположим, что , . Тогда уравнение примет вид: Здесь выделим полный квадрат по переменной : Или:

Производя перенос осей координат так, чтобы новым началом координат стала точка (координаты этой точки даны относительно системы ) и, обозначая новую систему координат через будем иметь: , . Так что уравнение (3) примет вид: . Это уравнение параболы.

III случай. Пусть или , или . Предположим, что . Тогда уравнение примет вид: Здесь выделим полный квадрат по переменной : Производя перенос осей координат так, чтобы новым началом координат стала точка (координаты этой точки даны относительно системы ) и, обозначая новую систему координат через будем иметь: , . Так что уравнение (3) примет вид: , где . Это уравнение прямых линий (или двух параллельных, или двух совпадающих). Теорема доказана.

Теорема 2. Общее уравнение линии второго порядка

заданной относительно Декартовой прямоугольной системы координат, определяет одну из следующих девяти линий (смотрите таблицу).

Доказательство. По теореме 1 мы с Вами установили, что общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих трёх простейших видов:

I. где II. где

III. где

Группа	№	Уравнение линии	Название линии
I			Эллипс
		Мнимый эллипс
		Две мнимые пересе-кающиеся прямые
		Гипербола
		Две пересекающиеся прямые
II			Парабола
III			Две параллел. прямые
		Две мнимые параллель- ные прямые
		Две совпад. прямые

Рассмотрим, какой вид могут принять простейшие уравнения (I), (II), (III) линии второго порядка в зави-симости от знаков коэффициентов этих уравнений.

I. 1. Если и одного знака, а имеет противоположный знак, то деля обе части уравнения (I) на и полагая ; приведём уравнение (I) к виду . Это каноническое уравнение эллипса.

2. Если , и одного знака, то уравнение приводится к виду . Это уравнение мнимого эллипса.

2. Если , а и одного знака, то уравнение (I) приводится к виду .

Это уравнение удовлетворяется только при .

Но, так как, , то говорят, что уравнение (I) распадается на пару мнимых прямых: , пересекающихся в действитель-ной точке .

4. Если и разных знаков, а , то уравнение (I) приводится к виду . Считая, что ; и полагая , , получим каноническое уравнение гиперболы: .

Если ; , то получим: и производя поворот осей координат на угол , т.е. полагая , , будем иметь: . Это снова каноническое уравнение гиперболы.

5. Если и разных знаков, а , то уравнение (I) приводится к виду и определяет две пересекающиеся прямые: ; .

II. Уравнение (II) можно привести к виду , где . Число можно считать положительным, так как в противном случае достаточно изменить положительное направление оси на противоположное.

III. Уравнение (III) приводится к виду , или ; ; , в зависимости от того, будет ; , или . В первом случае - это будут две параллельные прямые; во втором - две мнимые параллельные прямые; в третьем случае - две совпадающие прямые.