Лекция 6. § 133. Эллиптический параболоид

Аналитическая геометрия.

Глава 9. Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями

Лекция 6. § 133. Эллиптический параболоид

Определение. Эллиптическим параболоидом назы-вается поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: , (1)

где , . Будем считать, что . Если , то эллиптический параболоид (1) является параболоидом вращения, т.к. получается вращением параболы: вокруг оси , являющейся осью параболы.

Ось является осью симметрии эллиптического параболоида (1) (она называется осью параболида), а плоскости и - плоскостями симметрии (главные плоскости). Начало координат для эллиптического параболоида (1) является точкой пересечения этой поверхности с её осью и называется вершиной.

Плоскость пересекает эллиптический парабо-лоид (1) по линии: , ; или

, ; (2)

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений, т.к. , , это означает, что плоскость при не пересекает эллиптический параболоид (1),

Если , то , т.е. плоскость имеет с эллиптическим параболоидом только одну общую точку - вершину .

Если , то переписав уравнение (2) в виде:

, , видим, что сечением является эллипс с центром в точке и полуосями: и .

Плоскость пересекает эллиптический параболоид (1) по параболе , , а плоскость по параболе , .

Таким образом, числа и - параметры парабол, получающихся в сечении параболоида плоскостями симметрии (См. рис. 207).

Рис. 207. Рис. 208.

Рассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскостям , т.е. плоскостями, выражаемыми уравнением .

Уравнение линии сечения будет следующим:

, , или , , или:

, .

Эти уравнения выражают параболу с вершиной , ось которой выражается уравнением: , и одинаково направлена с осью . Параметр параболы , равен , т.е. параметру главного сечения эллиптического параболоида плоскостью .

Аналогичная картина получается и для сечений эллиптического параболоида (1) плоскостями, параллельными плоскости .

Таким образом, эллиптический параболоид может быть образован параллельным переносом параболы по параболе , а оси этих парабол параллельны и одинаково направлены (См. рис. 208).

Эллиптический параболоид является образом параболоида вращения при равномерном сжатии пространства: , , к плоскости (коэффициент сжатия ).