Нормальные напряжения. Формула Навье
Рассмотрим элемент изогнутой балки (рис. 15.1-15.2)
рис.15.1 рис. 15.2
Здесь 
- момент внешних сил, которые воздействуют на наше сечение слева или справа (по определению он называется изгибающим моментом).
Ясно, что верхние волокна сжимаются (например, ВС), а нижние - растягиваются. Между ними есть волокно LN, которое не деформируется (рис.15.2). Очевидно, что чем дальше волокна от LN, тем больше удлинение волокон, значит по закону Гука и сила их растяжения больше. Таким образом, максимальное напряжение будет там, где волокна наиболее удалены от 
.
Для вывода формулы вычисления напряжений используем метод сечений. Рассмотрим поперечное сечение DК (рис.15.2, 15.3)). Проведем ось х через точку Н (рис 15.3). На этой линии, напряжений не будет.
Определение: Линия HR, на которой нет напряжений, называется нейтральной.
Таким образом, ось 
будет лежать на нейтральной линии, так как на ней 
(для удобства записи индексы для напряжений σz , τzy в дальнейшем будем опускать).
На верхнюю часть нашего элемента правая часть балки действует сжимающим напряжением 
, а на нижнюю - растягивающим (см.рис.15.3).
Разобьем сечение на малые микроплощадки dA. Рассмотрим одну из них. На неё с правой стороны действует следующая сжимающая сила:
(15.1)
рис. 15.3
| Относительно оси сила  имеет плечо  , следовательно, создаёт момент:
dM = в dN (15.2)
Из рисунка видно, что плечо в - это координата центра микроплощадки  . Значит в = у. Тогда:
 (15.3)
|
Суммируя, получаем результирующий момент, который создают напряжения :
(15.4)
Поскольку вся балка находится в покое, то и любой его элемент тоже статичен. Следовательно, можно записать уравнение статики и для элемента, изображенного на рис.15.3. Запишем его в виде:
.
Отсюда:
(15.5)
Для отыскания 
из (15.5) учтем, что чем дальше микроплощадка от , тем больше . То есть, чем больше в, тем больше . Учитывая, что в = у, эту фразу можно записать в виде:
(15.6)
Здесь 
- коэффициент пропорциональности, а знак «-» поставлен потому, что при 
(т.е. в верхней части) действуют сжимающие напряжения.
Примечание. Соотношение (15.6) можно считать первым членом разложения функции σ в ряд Маклорена по аргументу у.
Найдем (если известен , то будем знать формулу для ).
Подставим в (15.5), тогда:
(15.7)
Согласно определению 
- это момент инерции сечения. Таким образом,
.
Окончательно формула для принимает вид:
(15.8)
Здесь у - это координата точки (микроплощадки ), в которой вычисляется напряжение, 
-осевой момент инерции. Формулу (15.8) нередко называют формулой Навье.
Примечание. Согласно закону Гука по формуле (15.6) получим, что 
. Это означает, что линия GG′ - прямая. Эксперимент подтверждает этот вывод для длинных балок. Тогда, можно пойти дальше и считать, что сечение со следом ВG остается плоским. Это предположение называют гипотезой Бернулли. Его обычно принимают за исходное положение. Тогда формула (15.6) будет следствием гипотезы Бернулли.
Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 3480;