Свободные, запухающие и вынужденные колебания

Во всякой реальной колебательной системе обычно имеют место силы трения (сопротивления), действие которых приводит к уменьше­нию энергии системы. Сила трения выражается формулой:

, (3.12)

где r - коэффициент трения, а знак минус указывает, что направление силы всегда противоположно скорости движения.

Если силы трения отсутствуют, формула (3.9) дает дифференциальное уравнение

(3.13)

которое имеет решение в виде: , где .

Колебания, происходящие при отсутствии сил трения, называются собственными или свободными. Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.

Допустим теперь, что в системе действуют две силы: Уравнение движения тела будет иметь вид:

(3.14)

Разделим это уравнение на массу тела и обозначим:

Тогда получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний, энергия которых уменьшается с течением времени:

(3.15)

Этому уравнению удовлетворяет функция

(3.16)

где . Значит, сейчас уже частота колебания зависит от т, k и . Амплитуда колебания будет с течением времени изменяться по экспоненциальному закону . Величина , определяющая быстроту убывания амплитуды колебания с течением времени, называется коэффициентом затухания. Произведение коэффициента затухания на период колебания Т, равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:

; ; (3.17)

есть безразмерная величина и называется логарифмическим декрементом затухания. Колебания, происходящие в системе при наличии сил трения, называются затухающими. Частота этих колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь (с увеличением их частота уменьшается). Для получения незатухающих колебаний система должна подвергаться действию еще и внешней силы, непрерывно изменяющейся со временем по какому-нибудь закону. В частности, предположим, что внешняя сила является синусоидальной:

(3.18)

тогда уравнение движения тела будет иметь вид:

(3.19)

Разделим это уравнение на массу тела и к ранее принятымобозначениям добавим . В этом случае уравнение примет вид:

(3.20)

Уравнение (3.20) характеризует уже вынужденные незатухающие колебания под действием внешней периодической силы. Амплитуда вынужденных колебаний системы: ,

где - угловая частота собственных колебаний системы;

- угловая частота вынуждающей силы.

При вынужденных колебаниях имеет место явление резонанса, вызывающее резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении собственной угловой частоты колебаний и угловой частоты вынуждающей силы. Поскольку вынужденные колебания имеют широкое применение в технике, то явление резонанса должно всегда учитываться, ибо оно может быть полезным в отдельных процессах, а может быть и опасным явлением.

Важное место в машиностроении занимают вибрации - механиче­ские колебания упругих тел различной формы. Это понятие обычно применяется по отношению к механическим колебаниям деталей ма­шин, конструкций и сооружений, рассматриваемых в инженерном деле.