Занятие №38. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

№1. Записать уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиус–вектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.

Примечание: Сделаем чертеж (рис. 80).

Рис. 80

Из рисунка видно,

Из треугольника получаем

Подставляя в последнее равенство выражения для и , приходим к дифференциальному уравнению

т.е. получили уравнение первого порядка, линейное относительно функции Решаем его с помощью подстановки Имеем

Искомая кривая проходит через точку поэтому Следовательно, ее уравнение т.е. данная кривая гипербола.

№2. Записать уравнение кривой, если известно, что точка пересечения любой касательной к кривой с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

Примечание:

№3. Записать уравнение кривой, если известно, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания.

Примечание:

№4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.

Примечание:

№5. Записать уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей следующим свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэффициент пропорциональности равен 3.

Примечание: