Закон всемирного тяготения Ньютона

Две материальные точки с массами и , находящиеся на расстоянии друг от друга притягиваются друг к другу с силой

,

где - гравитационная постоянная.

В общем случае двух тел произвольной формы можно мысленно разбить их на малые элемен-ты и просуммировать силы взаимодействия между ними:

.

Таким образом можно, например, показать, что сила гравитационного взаимодействия между двумя однородными шарами с массами , и расстоянием между центрами равна

.

Из закона всемирного тяготения следует, что любая материальная точка создает вокруг себя силовое (гравитационное) поле, действующее на другие материальные точки. Оно относится к классу так называемых центральных полей, для которых сила может быть представлена в виде:

,

где - радиус-вектор, проведенный из точки, называемой центром силового поля, в данную точку.

Рассмотрим одно важное свойство движения в центральном поле. Для момента количества движения материальной точки в этом случае имеем:

, или .

Таким образом, при движении материальной точки в гравитационном поле, создаваемом другой материальной точкой, сохраняется момент количества движения .

Отсюда следует, что траектория движения материальной точки в центральном поле целиком лежит в плоскости перпендикулярной вектору (плоская кривая, рис. 3). Такими кривыми являются траектории движения планет вокруг Солнца и траектории искус-ственных спутников Земли.

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле.

Проекция силы потенциального поля на направление связана с потенциальной энергией соотношением (лекция 5)

.

Выберем в качестве направление радиуса-вектора от материальной точки к мате-риальной точке . Тогда

.

Отсюда, полагая , получим

.

На основании анализа наблюдений положения планет, проведенных Тихо Браге, Кеплер сформулировал законы их движения.

Законы Кеплера.

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади.

3. Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Законы Кеплера можно получить с помощью 2-го закона Ньютона и закона всемирного тяготения.

1-ый закон Кеплера.

Так как траектория планеты является плоской, сначала введем в этой плоскости декартову систему координат с началом в Солнце. Однако, оказалось, что уравнения движения планеты удается проинтегрировать до конца лишь в так называемых полярных координатах , связанных с декартовыми соотношениями (рис. 3)

, .

При движении планеты вокруг Солнца сохраняются ее полная энергия и проекция момента количества движения на ось . В полярных координатах эти законы сохранения имеют вид:

,

.

Здесь точками обозначены производные по времени, - масса планеты, - масса Солнца. Интегрируя эти уравнения можно показать, что при траектория является эллипсом, то есть выполняется 1-ый закон Кеплера. При траектория представляет собой гиперболу, а при - параболу.

Вообще существует два вида движения в гравитационном поле. При инфинитном движении материальная точка может удалиться сколь угодно далеко от ее начального положения. В случае финитного движения траектория не может выйти за пределы некоторой ограни-ченной области пространства. При траектория всегда будет финитной, так как при полная энергия , что противоречит исходному предположению. При является инфинитной.

2 – ой закон Кеплера.

Этот закон является следствием сохранения момента импульса, так как площадь описы-ваемая радиусом-вектором планеты в единицу времени

.

3 – ий закон Кеплера.

Его легко получить для частного случая движения по окружности:

.

Космические скорости.

1-ая космическая скорость – скорость тела, движущегося вблизи поверхности Земли по финитной траектории:

.

2-ая космичская скорость – скорость тела вблизи поверхности Земли, движущегося под действием ее поля тяготения по инфинитной траектории:

.

3 – я космическая скорость – скорость тела вблизи поверхности Земли, движущегося по траектории инфинитной по отношению к Солнцу. В зависимости от положения Земли она варьируется в интервале примерно от до .