Центр масс. Ц-система

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка C, называемая центром масс, которая обладает рядом интерес­ных и важных свойств. Ее положение относительно начала O данной системы отсчета характеризуется радиус-вектором

(1.4.4)

где m_i и _i — масса и радиус-вектор i-ой частицы, т — масса всей системы (рис.1.5.1).

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Впрочем, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной систе­мы можно считать однородным.

Теперь найдем скорость _C центра масс системы. Рис.1.4.1.

Продифференцировав (1.4.4) по времени, получим

(1.4.5)

Если скорость центра масс равна нулю, то система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной материальной точки. Скорость же _C приобретает смысл скорости движения всей системы как целого. Из последней формулы следует, что

(1.4.6)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Понятие центра масс позволяет придать уравнению (1.4.3) иную форму, которая часто бывает более удобной. Для этого достаточно (1.4.6) подставить в (1.4.3) и учесть, что масса системы как таковой есть величина постоянная. Тогда получим

(1.4.7)

Это и есть уравнение движения центра масс системы — одно из важнейших уравнений механики. Согласно этому уравнению, центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы.

При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Из уравнения (1.4.7) следует, что если _внеш = 0, то d _С/dt = 0, а значит, _C = const, и импульс системы = const.

Таким образом, если центр масс системы движется равно­мерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс со­храняется в процессе движения. Разумеется, справедливо и об­ратное утверждение.

Уравнение (1.4.7) по форме совпадает с основным уравнени­ем динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.

Ц-система. В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не ее движение как целого,наиболее целесообразно пользоваться си­стемой отсчета, в которой покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления, и соответствующие расчеты.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и пере­мещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или, кратко, Ц-системой.

Отличительной особенностью Ц-системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю — это непосредственно следует из формулы (1.4.6), ибо в Ц-систе­ме _С = 0. Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей Ц-системе.

Для замкнутой системы частиц ее Ц-система является инерциальной, для незамкнутой — в общем случае неинерциальной.

Необходимо отметить, что Ц-система играет существенную роль в физике. Это обусловлено рядом несомненных преиму­ществ, которые дает ее применение во многих ситуациях. В дальнейшем будем помечать все величины в Ц-системе сверху значком «~» (тильда).