УСТРОЙСТВ В ТЕХНИКЕ ПТМ

Снижение удельного расхода топлива и выброса в атмосферу вредных продуктов сгорания, увеличение ресурса работы и снижение трудоемкости технического обслуживания в современных подъемно – транспортных машинах и механизмах во многом стало возможным благодаря внедрению электронных систем автоматического управления двигателем и трансмиссией, средств технического диагностирования. Электрооборудование современного автомобиля представляет собой сложную систему, включающую более сотни изделий, а его стоимость может достигать 30% стоимости автомобиля. В лекции рассмотрим отдельные примеры применения электронных устройств в технике ПТМ.

1. ЭЛЕКТРОННЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ НАПРЯЖЕНИЯ

Особенности регулирования напряжения в бортовой сети ПТМ и М, а также схема и принцип работы реле – регуляторов были рассмотрены в лекции 17. Основным недостатком реле – регуляторов является низкий срок их службы. Для устранения этого недостатка разработаны и внедрены регуляторы электронного и смешанного типов.

Схема регулятора смешанного типа приведена на рис. 28.1. Схема включает трехфазный синхронный генератор, трехфазный мостовой выпрямитель, транзистор Т₁, резисторы R_д, R₁ и электромагнитное реле. Управляющим органом являются контакты реле, включенные в цепь базы транзистора, а чувствительным элементом – обмотка реле, включенная на напряжение генератора. Транзистор Т₁ работает в ключевом режиме.

Если напряжение генератора меньше регулируемого, контакты реле разомкнуты, а в цепи базы протекает ток, поддерживающий транзистор в открытом и насыщенном состоянии. Ток транзистора является и током обмотки возбуждения. Напряжение на зажимах 1 – 1′ является выходным напряжением генератора и определяется частотой вращения ротора.

При увеличении частоты вращения ротора напряжение генератора увеличивается. Когда напряжение становится выше регулируемого, контакты реле замыкаются. Участок цепи база – эмиттер шунтируется, и транзистор закрывается. Теперь ток обмотки возбуждения протекает по добавочному резистору R_д и уменьшается. Уменьшение тока возбуждения приводит к уменьшению напряжения генератора и, как следствие, к размыканию контактов реле. Далее процесс повторяется, а напряжение генератора колеблется около регулируемого значения.

Достоинство схемы – контакты реле нагружены малым током, а поэтому не подгорают и не изнашиваются. Недостаток – нестабильность регулируемого напряжения. Недостаток обусловлен изменением характеристики возвратной пружины при ее старении.

Свободны от этого недостатка электронные регуляторы напряжения. Одна из возможных схем такого регулятора приведена на рис. 28.2. В этой схеме электромагнитное реле заменено транзистором Т₂, стабилитроном D₁ и делителем напряжения R₂, R₃. Транзисторы Т₁ и Т₂ работают в ключевом режиме. Напряжение стабилизации равно напряжению регулирования.

При напряжении генератора ниже регулируемого стабилитрон закрыт. Цепь делителя R₂, R₃ разорвана большим сопротивлением закрытого стабилитрона. К базе транзистора Т₂ через резистор R₂ приложен положительный потенциал выпрямителя, которым транзистор надежно закрыт. Такое состояние эквивалентно разомкнутым контактам реле в схеме рис. 28.1. К базе транзистора Т₁ через резистор R₁ приложен отрицательный потенциал выпрямителя. Под действием этого потенциала транзистор Т₁ открыт и насыщен, его сопротивление пренебрежимо мало. В этом состоянии цепь обмотки возбуждения замыкается через транзистор Т₁ и имеет минимальное сопротивление.

С увеличением частоты вращения ротора напряжение генератора увеличивается. Когда напряжение становится выше регулируемого, стабилитрон пробивается. Через делитель R₂, R₃ начинает протекать ток, создавая падение напряжения на резисторах. Отрицательный потенциал падения напряжения на R₂ приложен к базе транзистора Т₂ и открывает его, при этом база транзистора Т₁ подключается к положительному потенциалу источника. Транзистор Т₁ закрывается, в цепь обмотки возбуждения включается добавочный резистор R_д, и напряжение генератора падает.

Падение напряжения на зажимах 1 – 1′ вызывает запирание стабилитрона. При этом транзистор Т₂ закрывается, а транзистор Т₁ открывается и шунтирует R_д. Напряжение генератора начинает увеличиваться. Далее процесс периодически повторяется, а напряжение генератора колеблется около регулируемого значения.

2. ЭЛЕКТРОННЫЕ СХЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СТАРТЕРОМ

Электромагнитные схемы управления стартером были рассмотрены в лекции 16. В процессе управления большое значение имеет возможность своевременно отключить и блокировать стартер. Наиболее успешно эти задачи решаются электронными устройствами.

Упрощенный вариант электронной схемы пуска двигателя приведен на рис 28.3. В состав схемы входят формирователь сигнала датчика (D₁, R₁, R₂, R₃, T₁ и D₂), преобразователь (D₃, D₄, C₁, C₂, R₄, R₅), триггер (Т₂, Т₃, D₅, R₆, R₇, R₈), реле стартера К1 с нормально разомкнутыми контактами К1.1, стартер, выключатель стартера S и аккумуляторная батарея Е. В качестве датчика сигнала о выходе ДВС на рабочий режим может быть использован генератор переменного тока.

Когда выключатель S переводится в положение КВ (включено), на схему подается напряжение питания от аккумуляторной батареи Е. При этом триггер устанавливается в исходное состояние, при котором транзистор Т₃ открыт и насыщен, а транзистор Т₂ закрыт. После перевода выключателя S в положение СТ (пуск) обмотка реле К1 через диод D₆ и открытый транзистор Т₃ подключается к аккумуляторной батарее. Реле срабатывает, и контакты К1.1 включают стартер.

При вращении коленчатого вала на вход схемы поступает сигнал от датчика частоты вращения. Диодом D₁ сигнал датчика преобразуется в однополярные импульсы, следующие с частотой вращения коленчатого вала. На транзисторе Т₁ выполнен резистивный усилитель по схеме с общим эмиттером. Усиленные импульсы ограничиваются по амплитуде стабилитроном D₂ и принимают прямоугольную форму.

Диод D₃, конденсатор С₁ и резистор R₄ образуют однополупериодный выпрямитель с емкостным сглаживающим фильтром. На выходе выпрямителя формируется пульсирующее напряжение, среднее значение которого определяется частотой следования импульсов.

После пуска двигателя и увеличения частоты вращения коленчатого вала среднее значение выпрямленного напряжения достигает напряжения пробоя D₄. Стабилитрон D₄ пробивается, его ток создает на резисторе R₅ падение напряжения, которое через резистор R₇ воздействует на базу транзистора Т₂ и открывает его. Триггер опрокидывается. Теперь транзистор Т₂ открыт и насыщен, а транзистор Т₃ закрыт. Цепь питания обмотки реле К1 разрывается, его контакты К1.1 размыкаются и выключают стартер.

Очередное включение стартера возможно только после возвращения выключателя S в исходное состояние (выключено) и повторения операций пуска.

3. ЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ ЗАЖИГАНИЯ

3.1. Основные этапы развития электронных систем зажигания

Принцип работы систем зажигания ДВС батарейного типа был рассмотрен в лекции 10. Такие системы имеют достаточно простую конструкцию, невысокую стоимость и позволяют регулировать угол опережения зажигания в широких пределах, но имеют ряд недостатков. К числу основных недостатков относят следующие:

– относительно малую величину вторичного напряжения на низких и высоких частотах вращения коленчатого вала двигателя,

– чрезмерный нагрев катушки зажигания в зоне низких частот вращения вала двигателя и особенно при остановившемся двигателе и включенном замке зажигания,

– нарушение зазоров в контактах, необходимость их периодической зачистки,

– низкий срок службы и др.

Так как недостатки обусловлены работой механического прерывателя и механических автоматов опережения зажигания, то для их устранения стремятся заменить эти элементы электронными устройствами. Полученную в результате такой замены систему зажигания называют электронной.

Первыми электронными устройствами, примененными в системах зажигания, стали электронные ключи. Результатом их внедрения стала контактно – транзисторная система зажигания (рис.28.4.).

В схеме на электронный ключ возложены функции прерывателя в цепи первичной обмотки катушки зажигания. Через транзистор протекает большой (до 10 А) ток первичной обмотки. Контакты прерывателя сохранены, но вынесены в слаботочную цепь управления электронным ключом. По физической сути они выполняют роль датчика сигнала управления электронным ключом.

Таким образом, контактно – транзисторная система позволяет существенно увеличить срок службы контактов прерывателя, но не исключает их механического износа. Возможная вибрация контактов ограничивает число оборотов ДВС сверху.

На следующем этапе развития электронных систем зажигания контакты прерывателя заменены бесконтактным датчиком. Датчик вырабатывает импульсы в строго заданные моменты времени. Эти импульсы усиливаются по мощности и управляют электронным ключом. Таким образом, в схему электронной системы зажигания включается дополнительный каскад – усилитель сигналов датчика или формирующий каскад. Совокупность формирующего каскада и электронного ключа стали называть коммутатором, а систему зажигания – бесконтактной (БСЗ).

В БСЗ рассмотренной структуры угол включенного состояния электронного ключа α_вкл постоянный. Это значит, что время накопления энергии t_н зависит от частоты вращения коленчатого вала n по закону t_н = α_вкл / 6n. С уменьшением частоты вращения n время накопления, а, следовательно, и ток разрыва, и мощность, рассеиваемая элементами схемы, увеличиваются.

Разработка электронного устройства (регулятора), нормирующего время накопления энергии, стала следующим этапом развития БСЗ. Решение этой задачи позволило снизить мощность потерь в катушке и коммутаторе на низких и средних частотах вращения вала двигателя, увеличить ток разрыва и энергию искрового разряда.

Основными недостатками БСЗ с электронным регулятором времени накопления являются несовершенство механических автоматов угла опережения зажигания и механический способ распределения энергии по цилиндрам двигателя, порождающие погрешности момента образования искры. Системы с электронным регулированием угла опережения зажигания наиболее совершенны по исполняемым функциям.

Дальнейшее развитие электронных систем зажигания идет в направлении использования современной элементной базы и достижений электроники. Успехи цифровой электроники позволили создать цифровые и микропроцессорные системы зажигания. В рамках данной лекции кратко рассмотрим принципы реализации отдельных функциональных узлов электронных систем зажигания.

3.2. Датчики углового положения коленчатого вала ДВС

В настоящее время наиболее широкое применение получили магнитоэлектрические датчики и датчики на эффекте Холла.

Схема магнитоэлектрического датчика с переменным магнитным потоком приведена на рис. 28. 5, а. Схема включает статор с неподвижной катушкой и постоянный магнит, жестко связанный с валом распределителя зажигания. Число пар полюсов постоянного магнита равно числу цилиндров двигателя.

При вращении постоянного магнита в обмотке статора возникает переменное напряжение u_вых(t), причем,

.

Для системы зажигания удобно выражать напряжение в зависимости от угла поворота вала α. Тогда

,

где n – частота вращения постоянного магнита, dФ/dα – скорость изменения магнитного потока.

Графики изменения магнитного потока и напряжения на выходе датчика приведены на рис. 28.5, б. Момент перехода напряжения через нуль можно использовать для определения момента образования искры.

Датчик на эффекте Холла. Из курса физики известно, что эффект Холла заключается в возникновении Э.Д.С. между гранями полупроводниковой пластины с током I, помещенной в магнитное поле так, чтобы плоскость пластины была перпендикулярна силовым линиям поля, причем,

,

где k – постоянная Холла, I – ток, протекающий через пластину, h – толщина пластины.

Если магнитную индукцию B изменять пропорционально углу поворота коленчатого вала двигателя α, то Э.Д.С. Холла будет представлять сигнал, пригодный для определения момента зажигания. В этом заключается основная идея построения датчика на эффекте Холла.

При очевидной простоте идеи построения датчики Холла получили практическое применение относительно недавно, благодаря развитию микроэлектроники. Величина Э.Д.С. Холла очень мала и должна быть усилена в непосредственной близости от кристалла полупроводника. Поэтому датчик Холла содержит элемент Холла, усилитель, ограничитель, выходной каскад и стабилизатор напряжения. Все эти функциональные узлы выполнены в виде одной магнитоуправляемой микросхемы. Объединив такую микросхему с магнитной системой в одном корпусе, получают микропереключатель на эффекте Холла. Устанавливается микропереключатель в традиционный распределитель, на поворотный механизм вакуумного автомата.

Принцип размещения микропереключателя в распределителе показан на рис. 28.6, а. В зазор между элементом Холла и магнитом помещается ротор, жестко связанный с валом распределителя. Ротор выполнен в виде полого цилиндра, на котором закреплены полюса – экраны из магнитопроводящего материала. Число полюсов – экранов равно числу цилиндров двигателя.

При вращении вала распределителя полюса – экраны проходят между магнитоуправляемой схемой и магнитом, изменяя магнитный поток пропорционально углу поворота коленчатого вала двигателя. На выходе магнитоуправляемой схемы формируются прямоугольные импульсы, положение которых на оси угла поворота несет информацию о моменте образования искры в соответствующем цилиндре.

3.3. Коммутаторы

По определению коммутатор – это совокупность формирующего каскада и электронного ключа. Он предназначен для формирования импульсов тока первичной обмотки катушки зажигания заданной амплитуды и длительности в моменты образования искры. На вход коммутатора поступают сигналы с выхода датчика углового положения коленчатого вала ДВС. Нагрузкой коммутатора является первичная обмотка катушки зажигания. В зависимости от класса системы зажигания в состав коммутатора могут входить элементы защиты выходного каскада (транзистора электронного ключа) от перенапряжения, от инверсного включения, регуляторы времени накопления, контроллеры и т. п.

В качестве примера рассмотрим схему отечественного коммутатора 13.3734, приведенную на рис.28. 7. Схема содержит формирователь сигнала датчика (транзистор Т₁, резисторы R₁ – R₆, конденсатор С₁, а также диоды D₁, D₂ и стабилитрон D₃), каскад предварительного усиления (транзистор Т₂, резисторы R₇, R₉, конденсатор С₅) и выходной каскад (Т₃, С₆). Элементы С₁, R₃ обеспечивают частотную коррекцию момента зажигания. Резисторы R₄, R₅ и стабилитрон D₃ образуют цепь смещения с фиксацией напряжения на базе Т₁. Резистор R₉ улучшает условия запирания транзистора Т₃ при закрытом транзисторе Т₂. Элементы С₄, R₈ образуют фильтр в цепи источника питания. Положительная обратная связь на элементах С₇, R₁₀ обеспечивает устойчивую работу коммутатора при запуске.

3.3.1. Коммутаторы с нормируемой скважностью

выходного импульса тока.

Отличительной особенностью таких коммутаторов является наличие в схеме электронного регулятора времени накопления. Схема регулятора времени накопления приведена на рис. 28.7, а. На рис. 28.7, б приведены графики напряжений, поясняющие принцип его работы. Схема содержит интегратор (ОУ₁, С₁, R₁), компаратор (ОУ₂, источник U_см2), устройство сброса (Т₁, D₁, R₁, R₂). Выходной каскад на транзисторе Т2 в состав собственно регулятора не входит.

Входной сигнал схемы, как правило, формируемый датчиком на эффекте Холла, представляет последовательность прямоугольных импульсов постоянной скважности с частотой вращения коленчатого вала. На графиках рис. 28.7, б приведен интервал времени, на котором частота вращения вала увеличивается.

На интервале низкого уровня входного сигнала напряжение на конденсаторе увеличивается от U_см1 по линейному закону. Скорость увеличения определяется постоянной цепи заряда – τ_з = С₁·R₁. Параметры цепи рассчитаны так, чтобы на минимальных оборотах напряжение достигало максимально допустимого значения U_макс ≈ Е_пОУ. При максимальной частоте вращения коленчатого вала U_С1 ≈ U_см2.

На интервале высокого уровня входного сигнала конденсатор С₁ разряжается по линейному закону. Параметры цепи подобраны так, что за время импульса датчика напряжение U_С1 уменьшится до U_см1. Расчеты упрощаются за счет постоянной скважности импульсов датчика.

Напряжение интегратора сравнивается компаратором с пороговым напряжением U_см2. В момент равенства U_С1 = U_см2 на выходе компаратора формируется положительный импульс. Положительное напряжение через диод D₁ поступает на базу транзистора Т₁ и открывает его. Через малое сопротивление открытого транзистора конденсатор С₁ быстро разряжается до U_cм1.

При оговоренных условиях по выбору параметров схемы длительность импульсов на выходе компаратора постоянна, не зависит от частоты вращения вала ДВС и равна нормированному времени накопления. Напряжением компаратора управляется выходной каскад на Т₂, вырабатывающий выходной импульс тока.

Рассмотренный регулятор называется программируемым, так как длительность импульсов тока и закон изменения их скважности задается (программируется) постоянной времени заряда и разряда С₁, а также соотношением напряжений U_см1 и U_см2.

В заключение отметим, что электронные системы зажигания позволяют полностью отказаться от механического высоковольтного распределителя, повысить экономичность и безопасность работы ДВС на всех режимах. Последним достижением в совершенствовании электронных систем зажигания стали микропроцессорные системы. По сути, это системы комплексного управления и оптимизации характеристик двигателя.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

28.1. Что дает применение электронных устройств в технике вообще и в ПТМ и М в частности?

28.2. Почему электромагнитные реле – регуляторы вынуждены заменять регуляторами смешанного типа?

28.3. В чем состоят достоинства и недостатки регуляторов смешанного и электронного типа?

28.4. Какие функциональные узлы входят в состав электронной схемы (рис. 28.3) пуска ДВС?

28.5. Обоснуйте необходимость и целесообразность каждого функционального узла схемы рис. 28.3.

28.6. Перечислите недостатки системы зажигания батарейного типа.

28.7. В чем заключаются недостатки контактно – транзисторной системы зажигания?

28.8. Приведите достоинства и недостатки БСЗ.

28.9. В каких направлениях возможно совершенствование БСЗ?

28.10. Почему схема по рис. 28.7 называется программируемым регулятором?

ТЕМА 7. ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА

ЛЕКЦИЯ 29. ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ЭЛЕКТРОНИКУ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦИФРОВЫХ СИГНАЛАХ

Появление импульсных устройств создало материальную базу для разработки цифровых измерительных приборов, систем передачи цифровой информации, ЭВМ. Вся эта техника осуществляет операции над цифровыми сигналами. Такие сигналы принимают лишь два значения: "0" или "1". Их называют состояниями. Число состояний m = 2. Физически состояния задаются определенным уровнем напряжения, например, "0" – напряжением , "1" – напряжением .

Сообщениями часто служат цифры. Совокупность цифр образуют алфавит L. Количество цифр от 0 до 9 определяют объем алфавита, т. е. L = 10. Передать десять цифр двумя состояниями нельзя. Поэтому каждой цифре ставят в соответствие не один, а несколько импульсов – n.

Совокупность из n импульсов называют кодовой комбинацией. Импульсы в кодовой комбинации называют разрядами. Число разрядов – n называют длиной кодовой комбинации. Так как каждый разряд может принимать одно из двух состояний, то совокупность из n разрядов позволяет создать различных кодовых комбинаций.

Если , то такой код может обеспечить передачу L цифр. Для L = 10ⁿ ≥ 4. В качестве примера можно поставить следующее соответствие цифр и кодовых комбинаций:

0 – 0000; 4 – 0100; 8 – 1000;

1 – 0001; 5 – 0101; 9 – 1001.

2 – 0010; 6 – 0110;

3 – 0011; 7 – 0111;

В приведенном примере каждой цифре соответствует четырехразрядная кодовая комбинация. Появление единицы последовательно в каждом из разрядов соответствует цифрам 8; 4; 2; 1. Эти цифры называются весами разрядов, а рассмотренный код – кодом с весом 8-4-2-1. Каждому из разрядов кода могут быть присвоены и другие веса, например, 4-2-2-1 или 2-4-2-1. Цифрам могут быть поставлены в соответствие другие кодовые комбинации, например, код избытком три. Принцип формирования кодовых комбинаций может быть иным. Например, если каждая кодовая комбинация отличается от соседних состоянием только одного из разрядов, то получаем код Грея:

0 – 0000; 4 – 0110; 8 – 1100;

1 – 0001; 5 – 0111; 9 – 1101.

2 – 0011; 6 – 0101;

3 – 0010; 7 – 0100;

Приведенные примеры показывают, что количество кодов велико. Наиболее широко применяется код 8-4-2-1.

Любое число десятичной системы счисления N можно представить двоичным кодом в виде

,

где n – число двоичных разрядов; K_i – коэффициент, определяющий состояние i-го разряда: 0 или 1.

Однако наиболее удобна двоично-десятичная система. В такой системе цифре каждого десятичного разряда соответствует кодовая комбинация кода 8-4-2-1. Например, число 258 в двоично-десятичной системе имеет вид:

0010 0101 1000.

Формирование цифровой информации может быть различным. В ЭВМ информация вводится в виде цифр. В измерительных приборах измеряемая величина преобразуется, например, в уровень напряжения, который затем преобразуется в код, определяющий результат измерения числом. В системах связи непрерывный сигнал дискретизируется по времени, каждый дискретный отсчет квантуется по уровню, а затем уровень каждого дискретного отсчета преобразуется в код. Такое преобразование выполняется аналого-цифровыми преобразователями.

2. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ И ЭЛЕМЕНТЫ

АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Основой построения любого устройства, использующего цифровую информацию, являются элементы двух типов: логические и запоминающие. Логические элементы выполняют простейшие логические операции над цифровыми сигналами. Запоминающие элементы служат для хранения цифровой информации (состояния разрядов кодовой комбинации).

Логическая операция состоит в преобразовании по определенным правилам входных цифровых сигналов в выходные. Математически цифровые сигналы обозначают поразрядно символами, например, x₁, x₂, x₃, x₄. Их называют переменными. Каждая переменная может принимать значение "0" или "1". Результат логической операции часто обозначают F или Q. Он также может иметь значение "0" или "1". Математическим аппаратом логики является алгебра Буля. В булевой алгебре над переменными "0" или "1" могут выполняться три основных действия: логическое сложение, логическое умножение и логическое отрицание.

Логическое сложение (дизъюнкция или операция ИЛИ) записывается в виде

Правила выполнения операции ИЛИ заключаются в следующем:

0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1;

(29.1)

0 + 1 = 1; 1 + 1 = 1.

Логические схемы, реализующие операцию ИЛИ, называют ячейками ИЛИ. Их схемное обозначение приведено на рис. 29.1, а. Простейшая реализация логической ячейки ИЛИ на диодах приведена на рис. 29.1, б. Напряжение на выходе схемы будет равно E (F=1), если хотя бы на один из входов будет подан единичный сигнал.

Логическое умножение (конъюнкция или операция И) записывается в виде

Правила выполнения операции И заключаются в следующем:

0 · 0 = 0; 1 · 0 = 0;

(29.2)

0 · 1 = 0; 1 · 1 = 1.

Логические схемы, реализующие правила (29.2), называются ячейками

И. Их схемное обозначение приведено на рис. 29.1, в. Простейшая реализация логической ячейки И на диодах приведена на рис. 29.1, г.

Напряжение на выходе только в том случае, если все диоды будут закрыты, т. е. на всех входах будет потенциал Е (логическая 1).

В противном случае открывшийся диод шунтирует нагрузку и .

Логическое отрицание (инверсия или операция НЕ) записывается в виде

и читается: F равно не x. Правила выполнения операции НЕ заключаются в следующем:

(29.3)

Логические схемы, реализующие правило (29.3), называются ячейками НЕ. Их графическое обозначение приведено на рис. 29.2, а. Операция НЕ может быть реализована схемой транзисторного ключа (рис. 29.2, б).

Рассмотренные логические правила и схемы позволяют реализовать сколь угодно сложную логическую функцию. Например, функция

реализуется пятью логическими элементами, в том числе два элемента И,

два элемента НЕ и один элемент ИЛИ (рис. 29.2, в).

Все логические элементы выпускаются в микросхемном исполнении.

Они входят в состав всех серий цифровых микросхем и имеют следующие условные обозначения:

- элементы "ИЛИ" – ЛЛ;

- элементы "И" – ЛИ;

- элементы "НЕ" – ЛН.

Например, микросхема К555 ЛИ1 имеет в своем составе 4 элемента "И" на два входа каждый.

3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Теоремы для одной переменной охватывают все операции над переменной x и константами "0" и "1":

1. 5. 9.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Порядок выполнения операций над двумя и более переменными – x и y определяется следующими законами:

1. Переместительный закон:

2. Сочетательный закон:

3. Распределительный закон:

Доказательство закона:

Здесь к скобке применена теорема 2.

4. Закон поглощения:

Доказательство закона:

5. Закон поглощения при инверсии одной из переменных:

Доказательство закона:

6. Закон склеивания:

Доказательство:

7. Закон отрицания (теорема де-Моргана):

4. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ (ФУНКЦИИ ЛОГИКИ)

Результат выполнения логических операций над двоичными переменными называется булевой функцией F. Она может принимать только два значения – "0" или "1". Задать булеву функцию – значит указать ее значение при всех возможных комбинациях переменных (аргументов). Если число переменных равно "n", то число возможных комбинаций равно . Когда значение функции известно для всех комбинаций, она называется полностью определенной. В противном случае – частично определенной.

Булевы функции необходимы для синтеза цифровых устройств, содержащих только логические элементы. Для представления булевых функций часто применяют словесное описание, табличное и алгебраическое представление.

Словесное описание функции должно однозначно определять все случаи, в которых выходные сигналы принимают значение "1" или "0". Например: Спроектировать устройство с тремя входами x₁, x₂, x₃, на выходе которого сигнал F = 1 в случае, если на любые два или на все три входа подан сигнал "1".

Табличное представление – это перечисление всех возможных комбинаций входных сигналов. Для устройства, заданного приведенным выше словесным описанием, таблица значений имеет вид:

Таблица 29.1 .

Такая таблица называется таблицей истинности.

Алгебраическая форма представления булевых функций используется для минимизации (упрощения формул) и для построения логических схем. Существует две формы алгебраических функций – дизъюнктивная и конъюнктивная. Дизъюнктивная нормальная форма представляет собой сумму элементарных произведений аргументов, например,

Если каждое слагаемое содержит все аргументы или их отрицания, то получаем совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ), например,

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) представляет собой логическое произведение элементарных логических сумм, причем, каждая сумма содержит все аргументы или их отрицания, например,

.

Для перехода от таблицы истинности к СДНФ учитываются только те состояния, для которых функция равна 1. Для каждого такого состояния записывается элементарное произведение всех аргументов. Если аргумент имеет значение "0", то записывается его отрицание. Для приведенного примера СДНФ имеет вид

(29.4)

Для перехода от таблицы истинности к СКНФ учитываются только те состояния, для которых функция равна "0". Для каждого такого состояния записывается элементарная сумма аргументов. Если аргумент имеет значение "1", то пишется его отрицание. Для приведенного примера СКНФ имеет вид

(29.5)

На основании полученных формул (29.4) или (29.5) можно построить логическую схему, состоящую из элементов "ИЛИ", "И", "НЕ". Для функции (29.4) схема приведена на рис. 29.3, а. При построении схемы сначала изображаются инверторы, затем ячейки "И" и потом ячейки "ИЛИ".

Схемы рис. 29.2, в и рис. 29.3 содержат все типы логических элементов. При проектировании всегда стремятся сократить перечень используемых элементов. В связи с этим созданы логические элементы, способные выполнить простейшую функцию двух аргументов "ИЛИ-НЕ", а также "И-НЕ". С помощью каждого из этих элементов можно выразить все основные операции булевой алгебры, а значит, реализовать любую логическую функцию. Покажем это.

Для элемента "ИЛИ-НЕ"

Для элемента "И-НЕ"

В микросхемном исполнении элементы "ИЛИ-НЕ" обозначаются индексами ЛЕ, а элементы "И-НЕ" – индексами ЛА. Например, микросхема К555 ЛЕ1 имеет в своем составе четыре элемента "ИЛИ-НЕ" на два входа каждый.

5. МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Булевы функции в СДНФ и в СКНФ обычно избыточны, поэтому этапу построения схемы должно предшествовать упрощение формул или минимизация. Цель минимизации – получить минимально необходимое количество логических элементов в схеме. В основу минимизации положены правила и законы булевой алгебры. Чаще других применяется теорема склеивания:

Для применения этой теоремы в функции, представленной в СДНФ, отыскиваются слагаемые, отличающиеся только одним аргументом, и склеиваются. Когда все операции склеивания выполнены, можно проверить возможность применения закона поглощения. Для примера проведем минимизацию функции (29.4). Добавим в выражение (29.4) еще два слагаемых , от этого значение функции не изменится (правило 3). Выражение (29.4) принимает вид:

Проведем группирование и возможные склеивания:

(17.6)

Вместо четырех слагаемых третьего ранга в (29.4) получили три слагаемых второго ранга в выражении (29.6). Схема, соответствующая (29.6) приведена на рис. 29.3,б. Количество логических элементов уменьшилось в два раза. В этом и заключается суть минимизации.

Минимизация булевых функций посредством правил и законов алгебры логики трудоемко, требует хорошей теоретической подготовки и практических навыков. В инженерной практике для минимизации логических функций, как правило, применяют карты (матрицы) Карно.

Карта Карно представляет прямоугольник, разбитый на квадраты. Число квадратов равно числу возможных комбинаций, т. е. . Каждый квадрат соответствует определенной комбинации аргументов (рис. 29.4, а). Комбинации соседних квадратов должны отличаться не более чем одним аргументом.

Для примера на рис.29.4, а все возможные комбинации функции (29.4) внесены в квадраты карты Карно. При таком заполнении карта оказывается

загроможденной и не наглядной.

Для повышения наглядности карта Карно заполняется знаками "1" и "0". Знак "1" записывается в те квадраты, комбинации которых соответствуют значению F = 1. В остальные квадраты записываются "0" (рис. 29.4, б). После заполнения квадраты с "1" объединяют в контуры.

Объединить можно 2, 4, 8 и т. д. квадратов. Это равносильно объединению слагаемых функции для склеивания. Каждый квадрат может входить в несколько соседних контуров. Возможно объединение крайних квадратов на противоположных сторонах карты.

Объединением двух квадратов исключается один аргумент, четырех квадратов – два аргумента и т. д. В минимизированном выражении функции остаются только те аргументы, значение которых одинаково во всех квадратах контура. Например, для рис. 29.4, б результат минимизации будет иметь вид

и полностью совпадает с выражением (29.6).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

29.1. Поясните значение терминов: цифровой сигнал, состояние, алфавит, кодовая комбинация, разряд, длина кодовой комбинации.

29.2. Приведите формулу представления произвольного числа десятичной системы счисления двоичным кодом.

29.3. Представьте число 753

а) в двоичном коде,

б) в двоично–десятичном коде.

Какой из вариантов более удобен?

29.4. Приведите схемные обозначения и правила выполнения логических операций для логических элементов ИЛИ, И, ИЛИ – НЕ, И – НЕ.

29.5. Приведите определение булевой функции и перечислите возможные формы ее представления. В каких целях применяется каждая из форм представления?

29.6. В чем заключается суть минимизации булевых функций?

29.7. С помощью теорем алгебры логики упростите логическое выражение:

. Постройте схему, реализующую упрощенную функцию.

29.8. Методом карт Карно минимизируйте функцию:

Постройте схему.

29.9. Минимизируйте функцию: Постройте схему.