Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после
Рис. 27.1а
деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол ip, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации
Рис. 27.1
При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.
При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16).
При сдвиге на боковой поверхности элемента 1,2,3,4, возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).
Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.
Закон Гука при сдвиге τ = Gγ, G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ — угол сдвига, рад.
Напряжение в любой точке поперечного сечения
Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).
τ — касательное напряжение;
dA — элементарная площадка.
В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).
Элементарный момент силы dQ относительно центра круга
где ρ— расстояние от точки до центра круга.
Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:
После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:
При ρ = О τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jp (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. Jp является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.
Анализ полученной формулы для Jp показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.
Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)
Мк — крутящий момент в сечении;
ρв — расстояние от точки В до центра;
τВ — напряжение в точке В
τкmax — максимальное напряжение.
Рис. 27.3
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 825;