Отличными от нуля в этой сумме могут быть слагаемые, соответствующие зонам, в которых есть свободные уровни, куда могли бы переходить электроны.

б) Металлы.

Пусть у некоторого вещества энергия Ферми лежит в где-то внутри валентной зоны, ширина которой при не очень высоких температурах .

Рис. 34.

При этом функция Ферми-Дирака будет равна единице для энергетических зон, лежащих ниже валентной зоны, а у потолка валентной зоны она практически будет равна нулю. Для всех зон, лежащих выше валентной зоны, вероятность заполнения их электронами будет равна нулю. В этом случае валентная зона будет одновременно и зоной проводимости.

Только одно слагаемое в , при этом будет отлично от нуля, и оно будет соответствовать не полностью заполненной валентной зоне.

.

Состояние каждого электрона в этой зоне описывает волновая функция вида:

.

Квадрат модуля этой функции не будет зависеть от координат электрона, а это означает, что электрон с равной вероятностью может быть в любом месте кристалла. Такой электрон называется свободным или коллективизированным.

Если внешнее поле отсутствует, то средняя скорость свободных электронов равна нулю из-за хаотичности распределения электронов по скоростям. При наличии внешнего поля произойдет перераспределение электронов по состояниям и скоростям, следовательно, средняя скорость электронов станет отличной от нуля, т.е. электроны будут вовлечены в направленное движение.

Такие вещества называются проводниками или металлами.

Для металлов валентная зона является полупустой, т.е. можно считать, что она совпадает с зоной проводимости. Наличие в этой зоне свободных состояний дает возможность внешним электронам легко перераспределяться по состояниям.

По современным представлениям внешние электроны атомов в металле не принадлежат какому-то одному атому, а являются коллективизированными, т.е. принадлежат всему кристаллу, их называют электронным газом.

Поведение электронного газа в сильной степени зависит от соотношения между температурой кристалла и температурой Ферми.

Различают два предельных случая:

1. Если температура кристалла много меньше температуры Ферми , т.е. , электронный газ называется вырожденным и он подчиняется квантовой статистике Ферми-Дирака..

2. Если же , т.е. , электронный газ называется невырожденным и он подчиняется классической статистике.

Температура Ферми для металлов составляет несколько десятков тысяч кельвин, поэтому даже при температуре близкой к температуре плавления металла электронный газ в металле является вырожденным и подчиняется квантовой статистике.

В полупроводниках концентрация свободных электронов много меньше, чем в металлах, соответственно уровень Ферми мал, поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках оказывается невырожденным и подчиняется классической статистике.

В узлах кристаллической решетки расположены положительные ионы. Свободные электроны двигаются в пространстве между ионами, создавая взаимодействие, которое не позволяет ионам удалиться друг от друга. Это разновидность гетерополярной связи, которую называют металлической.

Свободный электрон в металле подобен частице в ящике с непроницаемыми стенками. При попадании на границу металлического кристалла плоская волна, описывающая движение свободного электрона, отражается и движется в противоположном направлении. При наложении падающей и отраженной волн образуется стоячая волна.

Решение квантовомеханической задачи о движении электронов в кристалле приводит к выводу, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металла была бы бесконечно большой. Однако этого никогда не бывает. Нарушения строгой периодичности в решетке бывают обусловлены наличием примесей или вакансий (отсутствие атомов в узлах решетки), а также тепловыми колебаниями решетки.

Рассеяние электронов на атомах примеси приводит к возникновению электросопротивления. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше электросопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов можно представить в виде суммы двух слагаемых

,

где 1-ое слагаемое – это сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки, оно уменьшается с понижением температуры и обращается в нуль при Т=0 К.

2-ое - обусловлено рассеянием электронов на атомах примеси не зависит от температуры и образует остаточное сопротивление металла.

Среднюю скорость свободных электронов в металле называют дрейфовой скоростью:

, где n- концентрация электронов в металле.

В отсутствии внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю и электрический ток в металле отсутствует. При наложении внешнего поля напряженностью E дрейфовая скорость становится отличной от нуля – в металле возникает электрический ток.

Количественной характеристикой электрического тока является вектор плотности тока

,

где n- концентрация свободных электронов, - скорость направленного движения носителей тока.

Воздействие кристаллической решетки на движущейся электрон можно определить как некоторую силу сопротивления, препятствующую его движению:

,

где - положительный коэффициент.

Со стороны внешнего поля на электрон действует сила:

.

Движение электрона в постоянном электрическом поле носит стационарный характер, следовательно:

= 0

Скорость направленного движения электрона пропорциональна напряженности внешнего поля ,

где называется подвижностью электрона.

В результате получим закон Ома в дифференциальной форме:

где - удельная проводимость.

в)сверхпроводимость.

В 1911 году Камерлинг обнаружил, что электрическое сопротивление ртути при Т = 4, 15 К скачкообразно обращается в нуль. Это явление было названо сверхпроводимостью.

Температура, при которой происходит переход в сверхпроводящее состояние, называется критической температурой .

Экспериментально сверхпроводимость можно наблюдать двумя способами:

1. Включить в общую электрическую цепь, по которой течет ток, звено из сверхпроводника, находящегося при температуре ниже критической. В момент перехода в сверхпроводящее состояние разность потенциалов на концах этого звена обращается в ноль.

2. Можно поместить кольцо из сверхпроводника в магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости кольца. Затем, охладив кольцо до температуры ниже , выключить поле. В результате в кольце возникает незатухающий индукционный ток, который циркулирует по кольцу бесконечно долго.

В 1959 году Коллинз не обнаружил уменьшение силы тока в таком кольце, наблюдая за ним в течение 2,5 лет.

Сверхпроводимость представляет собой явление, в котором квантовомеханические эффекты обнаруживаются не в микроскопических, а в макроскопических масштабах.

Теория сверхпроводимости очень сложна, поэтому ограничимся её изложением на уровне научно-популярной литературы.

Разгадка сверхпроводимости заключается в том, что электроны в металле кроме кулоновских сил отталкивания испытывают особый вид взаимного притяжения, которое в сверхпроводящем состоянии преобладает над отталкиванием. В результате электроны объединяются, в так называемы, куперовские пары.

Электроны, входящие в такую пару имеют противоположно направленные спины, поэтому общий спин пары равен нулю. Такая пара представляет собой бозон.

Бозоны склонны накапливаться в основном энергетическом состоянии, из которого их довольно сложно перевести в возбужденное состояние, следовательно, куперовские пары, придя в согласованное движение, остаются в этом состоянии неограниченно долго. Согласованное движение куперовских пар и есть ток сверхпроводимости.

В куперовские пары объединяются не все электроны проводимости. При температуре отличной от абсолютного нуля имеется некотороя вероятность того, что пара будет разрушена. Поэтому всегда наряду с куперовскими парами в кристалле всегда имеются и нормальные электроны, движущиеся по кристаллу обычным способом. Чем ближе температура к критической, тем доля нормальных электронов растет, обращаясь в единицу при . Поэтому при температуре выше критической сверхпроводящее состояние невозможно.

В 1986-1987 годах был обнаружен ряд высокотемпературных сверхпроводников с критической температурой порядка 100К. Все открытые до сих пор сверхпроводники принадлежат к группе металлооксидной керамики.

г) Рассмотрим теперь вещество, у которого энергия Ферми лежит в запрещенной зоне между валентной зоной и зоной проводимости.

Рис. 35.

Если энергия состояния ,то для всех зон кроме валентной функция Ферми-Дирака будет равна единице. Если энергия состояний , то для всех зон кроме зоны проводимости будет равна нулю.

Отличными от нуля в будут два слагаемых, и они будут соответствовать валентной зоне и зоне проводимости.

.

Если ширина запрещенной зоны , то средняя скорость электронов будет равна нулю независимо от того, есть внешнее поле или его нет, поскольку переход из валентной зоны в зону проводимости требует в этом случае значительных энергетических затрат. Такие вещества называются диэлектриками или изоляторами.