Влияние школьных, методов обучения арифметике в XIX— начале XX в. на развитие методики формирования элементарных математических представлений у детей.

Становление методики формирования элементарных математичес­ких представлений в XIX—начале XX в. происходило под непосред­ственным воздействием основных идей школьных методов обучения арифметике.

В то время единой методики преподавания арифметики не сущест­вовало. Шла длительная борьба между двумя направлениями, с одним из которых связан так называемый метод изучения чисел, или монографический, а с другим — метод изучения действий, кото­рый называли /вычислительным.

Согласно методу изучения чисел в разработке немецкого мето­диста А. В. Грубе преподавание арифметики должно идти (в преде­лах 100) от числа к числу. Каждое из этих чисел, якобы доступное «непосредственному созерцанию», сравнивается с каждым из преды­дущих чисел путем установления между ними разностного и кратного отношения. Действия должны как бы сами вытекать из знания наи­зусть состава чисел. Монографический метод получил определение метода, описывающего число.

В процессе изучения каждого числа материалом для счета слу­жили пальцы на руках, штрихи на доске или в тетради, палочки. Например, при изучении числа 6 предлагалось разложить палочки по одной. Задавались вопросы: «Из скольких палочек составилось наше число? Отсчитайте по одной палочке, чтобы получилось шесть. Во сколько раз шесть больше одного? Какую часть шести со­ставляет одна палочка? Сколько раз одна палочка заключается в шести?» И т. д. Потом изучаемое число точно так же сравнивалось с числом 2, предлагалось разложить шесть палочек по две и отвечать на вопросы: «Сколько двоек в шести? Сколько раз два содержится в шести?» И т. д. Так данное число сравнивалось со всеми пред­шествующими (3, 4, 5). После каждой группы таких упражнений действия записывались в виде таблицы, результаты которой заучи­вались наизусть, с тем чтобы в дальнейшем по памяти производить все арифметические действия, не прибегая к вычислениям.

В 90-х годах под влиянием критики монографический метод обучения арифметике был несколько видоизменен немецким дидактом и психологом В. А. Лаем. Книга В. А. Лая «Руководство к перво­начальному обучению арифметике, основанное на результатах дидак­тических опытов» была переведена на русский язык.

Как же происходило обучение по Лаю? Детям показывали число­вую фигуру. Они ее рассматривали, а затем описывали с закрытыми глазами расположение точек. Например, фигура, обозначающая чис­ло 4: один кружок — в левом верхнем углу, один кружок — в левом нижнем углу, один кружок — в правом верхнем углу и один кру­жок — в правом нижнем углу. В. А. Лай считал, что, чем отчетливее, яснее и живее наблюдение вещей, тем отчетливее, яснее и живее возникают числовые представления. За описанием следует зарисовка данной числовой фигуры и составление ее на счетах.

После работы над образом числа дети переходили к изучению его состава. Педагог закрывал три кружка из четырех (дети вос­принимали, один верхний левый), затем он закрывал и этот кружок, а первые три открывал или закрывал два кружка. Резуль­таты каждого действия описывались и объяснялись: один да три бу­дет четыре; три и ■ один будет четыре; два и два будет четыре. После этого на изученный состав числа 4 решались задачи. Ответ давался без вычислений, на основе запоминания состава числа.

По этому методу дети воспринимали и запоминали числа, пред­лагаемые им в виде квадратных числовых фигур. Последовательность обучения по монографическому методу состояла в следующем:

а) описание, наблюдение и составление некоторой числовой фигуры;

б) изучение состава числа и запоминание числа; в) упражнение в
арифметических действиях.

Однако уже в 70-х годах XIX в. стали появляться противни­ки монографического метода. В 1874 г. в журнале «Отечественные записки» (№ 9) критике его подверг Л. Н. Толстой. «В этих немецких приемах,— писал он в статье «О народном образовании»,— была еще и та большая выгода для учителей... что при них учителю не нужно... работать над собою и правилами обучения. Большую часть времени по этой методе учитель учит тому, что дети знают, да, кроме того, учит по руководству, и ему легко». Недовольство методом все более нарастало, и в 80—90-х годах це­лая плеяда русских математиков выступила с его резкой критикой, противопоставляя ему метод изучения действий, или, иначе, вычислительный метод.

В чем же русские математики видели недостатки монографиче­ского метода? Во-первых, критиковалось исходное положение метода, согласно которому число в пределах 100 можно якобы наглядно пред­ставить себе как группу единиц. Такой способности не существует, говорили критики. Мы наглядно можем представить себе группу из j; двух — четырех предметов. А при большем количестве всегда прихо­дится прибегать к счету. Поэтому изучать числа и их состав пу­тем разложения числа бессмысленно. В пределах 100 таких раз­ложений свыше 5000, запомнить которые невозможно. Во-вторых, монографический метод критиковали за томительную скуку и крайнее однообразие приемов обучения, при котором дети не осмысливали значения каждого арифметического действия, не дифференцировали их: обучение сводилось лишь к тренировке памяти и определенных навыков. Механическое заучивание начал арифметики при однообра­зии методических приемов отбивало желание у учащихся заниматься

дальше.

Несмотря на критику монографического метода, непризнание его в русских школах, поклонник этого метода Д. Л. Волковский издал книгу «Детский мир в числах» (1912). Книга иллюстрировалась числовыми фигурами В. А. Лая, карточками и чертежами. Она* была предназначена не только для начальной школы, но и для приготовительных классов женских гимназий, детских садов и до­машнего обучения. Монографический метод проник в детский сад, и по нему сравнительно долго (вплоть до настоящего времени) строилось обучение детей счету.

Другой метод — метод изучения действий (вычислительный) — предполагает научить детей не только вычислять, но и понимать смысл этих действий, основу десятичного исчисления. Обучение при этом строится по десятичным концентрам. В пределах каждого кон­центра изучаются не отдельные числа, а счет и действия.

Для обоснования двух методических течений были выдвинуты две психологические теории — теория восприятия групп предметов и теория счета. Каждая из этих теорий пыталась решить вопрос о том, что изначально: число или счет. Сторонники теории восприя­тия утверждали, что ребенку свойственна способность охватывать множество как единое пространственно организованное целое, не считая его, и поэтому они поддерживали монографический метод обу­чения.

Представители другой теории утверждали, что врожденным ка­чеством является восприятие не одного числа, а последовательности чисел во времени, т. е. натурального ряда чисел, в силу чего ребенок, считая, умеет называть числительные по порядку, а опре­делить их общее количество (сколько всего) не может. Как видно, представители обеих психологических теорий стояли на идеалистических позициях и спорили лишь о том, что является изначально данным: число или последовательность чисел.

Однако оба метода (и монографический и вычислительный) сы­грали положительную роль в дальнейшем развитии современной ме­тодики, которая вобрала в себя отдельные позитивные моменты: приемы, упражнения, дидактические средства (числовые фигуры) одного и другого метода, но базируется на материалистическом пони­мании происхождения всех математических понятий. Понятия («число», «счет», «геометрическая фигура», «измерение» и многие другие) возникали и развивались в процессе разнообразной дея­тельности человека по изучению материального мира.

Усвоение и осмысление математических понятий детьми осуще­ствляется в процессе овладения ими общественно-историческим опы­том, по мере развития и приобретения чувственного опыта. В дей­ствиях с множествами предметов, при сравнении одних предметов с другими, их счете и измерении познаются количественные, прост­ранственные и временные отношения.

§ 3. Развитие методики формированияэлементарных математических представлений в годы становления советской дошкольной педагогики.

Методические пособия, издававшиеся в России в дореволюцион­ный период, адресовались, как правило, одновременно семье и дет­скому саду, цель этих пособий состояла в ознакомлении родителей и воспитателей с содержанием обучения детей математике:

Наиболее полно содержание и методы изучения с детьми до- * школьного возраста математического материала отражены в методи­ческом пособии «Математика в детском саду», составленном В. А. Кемниц в 1912 г. по результатам практической работы с детьми в семейной обстановке. В пособии представлены беседы с детьми, практические работы, игры, упражнения, направленные на первона­чальное математическое развитие детей до 7—8 лет. Методика здесь строится по принципу последовательного усложнения, но­вое знание базируется на понимании и прочном усвоении преды­дущего материала.

Книга содержит беседы и занятия, способствующие усвоению понятий, которыми пользуются при различных практических вычисле­ниях и измерениях: «один», «много», «несколько», «пара», «равный», «больше», «меньше», «столько же», «такой же» и др. Основной задачей является изучение чисел от 1 до 10, причем каждое из них рассматривается отдельно. В этом процессе участвуют все анали­заторы: зрительный, слуховой, двигательный и т. д. Одновременно на наглядном материале дети усваивают действия над этими числами. В ходе бесед и занятий дети овладевают геометрическими, про­странственными и временными представлениями, получают знания о делении целого на части, величинах, измерении.

В годы Советской власти методические пособия, руководства, программа, методика обучения детей дошкольного возраста разраба­тывались Л. В. Глаголевой, Л. К. Шлегер, Е. И. Тихеевой, Ф. Н. Блехер. Ими определена достаточно разнообразная программа развития у детей числовых представлений, знаний о величинах и измерении, форме, пространстве и времени.

Широкое развитие сети детских садов в первые годы Советской власти потребовало разработки принципиально новой системы общественного дошкольного воспитания. Советская дошкольная педагогика развивалась в борьбе с различными буржуазными системами и теориями: теорией свободного воспитания, саморазви­тия, методом проектов и др. Влияние этих идей не могло не ска­заться на результатах деятельности педагогов, разрабатывающих методические руководства и программы первоначального матема­тического развития детей до школы.

До 1939 г. в детских садах Ленинграда детей обучали сче­ту по методике Л. В. Глаголевой. В ряде ее методических посо­бий: «Преподавание арифметики лабораторным методом» (1919); «Сравнения величин предметов в нулевых группах школ» (1930); «Математика в нулевых группах» (1930) —раскрыты содержание, методы и приемы формирования у детей первоначальных представ­лений о числах, величинах и их измерении, делении целого на равные части.

В методике обучения счету Л. В. Глаголева рекомендовала опи­раться на обе господствовавшие в то время теории: восприятия» чисел путем счета и путем образа (числовые фигуры и группировки предметов). Во всех пособиях,-разработанных ею, прослеживается мысль о необходимости идти при обучении от числа к числу. Это дает возможность формировать понятия числа во всех отношениях к другим числам (монографический метод).

Л. В;, Глаголева пропагандировала разнообразие методов обуче­ния. При этом большое значение имел каждый из них: лабо­раторный метод (отработка практических действий с использованием наглядного материала), исследовательский (поиск детьми ситуаций применения знаний, аналогичных изучаемым), иллюстративный (за­крепление знаний, умений в продуктивной деятельности), наглядный (демонстрация наглядных пособий). Игра рассматривалась ею как метод обучения на занятиях по счету.

Е.И. Тихеева, известный общественный деятель в области просвещения, педагог-методист, считала, что формирование число­вых представлений должно осуществляться у ребенка естественно в ходе его развития, без принуждения и давления. Отсюда « требования к объему знаний, материалу, методам, разработан­ным ею. Эти требования сводятся к необходимости создания ус­ловий для легкого и непринужденного усвоения знаний. Такое ус­воение возможно обеспечить не в условиях коллективного обучения, считала Е. И. Тихеева, а в игре и повседневной детской жизни.

В своих книгах «Современный детский сад» (1920), «Счет в жизни маленьких детей» (1920) Е. И. Тихеева высказывается против систематического обучения дошкольников. Она считает, что до семи лет дети должны сами научиться считать в процессе повседневной жизни и игры. В то же время она возражает и против полной стихийности обучения. Для закрепления количественных представ­лений, полученных детьми в жизни, рекомендовались специальные игры-занятия с разработанным ею дидактическим материалом. Для легкого и незаметного усвоения счета Е. И. Тихеевой созданы пособия типа парных карточек, лото и др. Кроме этого, она раз­работала бО задач для игр-занятий на закрепление количественных и пространственных представлений, объясняя необходимость их тем, что математика как точная наука требует систематизации в усво­ении числовых представлений. В качестве счетного материала ре­комендовалось использовать естественный материал..— камешки, бо­бы, листья, шишки, а также мелкие игрушки, пуговицы, ленточки и т. п.

Е. И. Тихеева определила и объем знаний, которым должны об­ладать дети. Особо подчеркивалось при этом значение правильного усвоения ими в дошкольном возрасте первого десятка, что является прочным фундаментом дальнейшего математического развития. Она считала необходимым знакомить детей и с цифрами, для чего ввела игры с парными карточками, на одной из которых написаны цифры, а на другой — числовые фигуры. Е. И. Тихеева рекомендовала использовать счетные ящики, в которые укладывались мелкие пред­меты, в соответствии с указанной цифрой или числовой фигурой. Предлагалось также подкладывать цифры к группам игрушек, раз­ложенных в разных местах комнаты.

На основе всех этих заданий Е. И. Тихеева знакомила детей с действиями сложения и вычитания и с их «записью» при по­мощи готовых карточек, на которых написаны цифры и знаки. Наря­ду с примерами вводились и задачи. Для этого рекомендова­лось использовать каждый подходящий случай. «Было у мальчика две конфетки. Одну он съел. Налицо задача,— говорит Е. И. Тихе­ева,— сколько конфет осталось?» Она считала, что на основе составления и решения задач из практической жизни, по картинкам дети в состоянии перейти к решению устных задач по представлению. Е. И. Тихеева рекомендовала также приучать детей к самостоятель­ному составлению задач, пользуясь для этих целей мелкими игруш­ками и предметами.

Большое внимание уделяла Е. И. Тихеева ознакомлению детей с предметами- разной величины, усвоению отношений между ними: больше — меньше, шире — уже, длиннее — короче и др. В ходе игр на различение размеров считала возможным познакомить детей 5—6 лет с измерением с помощью, общепринятых мер. С этой целью она знакомила детей с аршином (адер.а измерения, широко используемая в те годы) и учила обращению с ним. Дети получали также представле­ние об объеме, измеряя стаканом емкость сосуда. Для знакомства с массой и объемом различных предметов Е. И. Тихеева использовала весы, раскрывала функциональную зависимость массы от объема. Она указывала, что все эти виды измерений не должны быть бесцельными и носить чисто учебный характер; необходимо включить их в игры, связывая приобретенные знания с практически­ми задачами (например, игра в магазин).

При подготовке детей к школе Е. И. Тихеева отмечала зна­чимость обучения грамоте и счету. При этом признавалось лишь индивидуальное обучение. Однако игры, пособия, созданные ею, пред­назначались для совместного пользования (лото, домино). Дидак­тические пособия выполняли обучающую роль. По мнению Е. И. Ти­хеевой, воспитатель должен организовать процесс самообучения и лишь осуществлять контроль за выполнением детьми правил игры. Такое утверждение явилось результатом переоценки значения дидак­тических игр и использования игрушек, так называемого принци­па автодидактизма (Ф. Фребель, М. Монтессори и др.). Роль же прямого обучения и воздействия воспитателя на ребенка явно не­дооценивалась.

Замечательный мастер-практик, глубоко знающий ребенка, Е. И. Тихеева чувствовала необходимость обучения, последователь­ного усложнения учебного материала, однако в своих рекомендациях опиралась на широко распространенную в то время теорию свободно­го воспитания.

Несмотря на ошибочность некоторых взглядов, ряд общепедагоги­ческих высказываний Е. И. Тихеевой и ее пособия по счету не утра­тили своей ценности и до сих пор. Они вошли в общий фонд со­ветской дошкольной педагогики.

Дальнейшая разработка вопросов методики формирования мате­матических представлений была предпринята педагогом Ф.ТН. Блехер. Основные мысли о содержании и методах обучения изложены ею в книге «Математика в детском саду и нулевой группе» (1934), которая стала первым учебным пособием и программой по математи­ке для советского детского сада.

В программе обучения детей счету, разработанной Ф. Н. Блехер, использовались данные зарубежных психологов о времени и сроках восприятия ребенком разных чисел и предлагалось научить детей 3—4-летнего возраста различать и выделять понятия «много» и «один», формировать у них представление о числах 1, 2, 3 на основе восприятия соответствующих совокупностей и определения их словом — числительным. В среднем дошкольном возрасте (5—б лет) — определять количественные характеристики предметов в пределах 10. На основе счета сравнивать числа, пользоваться по­рядковым счетом. В старшей группе (6—7 лет) ~ знать состав чисел, цифры, практически составлять числа из меньших групп, произ­водить действия сложения и вычитания, освоить второй десяток, научиться решать простые арифметические задачи, близкие по со­держанию жизненному опыту детей.

Согласно содержанию обучения, разработанного Ф. Н. Блехер, детей вводили в мир пространственных, временных отношений предметов и явлений окружающего мира. В играх они усваивали приемы сравнения предметов по размерам, знакомились с геометрическими фигурами, пространственными направлениями, способами оценки временной длительности.

Для реализации поставленных задач Ф. Н. Блехер рекомен­довала использовать два сюжета: формировать у детей количествен­ные представления попутно, используя все многочисленные поводы, возникающие в жизни, и -проводить специальные игры и занятия. По ее мнению, дети должны активно участвовать в практических жизненных ситуациях (например, выяснять, сколько кроваток потре­буется только что купленным куклам, определять самостоятельно, путем подсчета по календарю, количество дней до праздника), выпол­нять поручения взрослых. В играх, на занятиях, действуя с наг-4 лядным материалом, упражняться в образовании групп предметов, сравнивать, отсчитывать, составлять числа из меньших, находить цифры, показывающие то или иное количество, и т. д. Обучение на занятиях понималось ею своеобразно.

Ф. Н. Блехер считала, что формировать у детей количествен­ные представления следует как на основе счета, так и в процессе восприятия групп предметов. Разработанная ею методика обучения во многом отражала идеи монографического метода: идти в обу­чении от числа к числу, строить обучение на целостном восприятии групп предметов, рассматривать запоминание случаев состава чисел как подготовку к простейшим арифметическим действиям, использо­вать числовые фигуры и т. д.

Вслед за Я. А. Коменским, И. Г. Песталоцци, Ф. Фребелем Ф. Н. Блехер считала счет средством не только умственного, но и всестороннего развития детей. Счет включался ею в процесс по­следовательного присоединения предметов (создания групп). Про­цесс создания групп идет путем присоединения единицы: группа из двух предметов образуется, когда к одному предмету присоеди­няется другой, и, присоединив к двум еще один, получаем груп­пу из трех предметов и т. д. Все эти действия проделывает сам ребенок.

Таким образом. Ф. Н. считала, что в основе формирования количественных представлений лежат практические активные действия детей с предметами и счет. Счет вводился начиная со средней дошкольной группы. В младшей же группе основное внимание уделялось восприятию групп в количестве двух-трех предметов.
Ф. Н. Блехер указывала, что учить детей считать легче и удобнее при условии линейного расположения предметов. Это ведет к усвоению порядка расположения чисел, познанию отношений между
ними и в дальнейшем к операции над числами. Большое значение она придавала и числовым фигурам, дающим возможность обозре­вать группу в целом, видеть, из каких меньших групп она состоит.
Таким образом, Ф.Н. Блехер разработала не_только содержание обучения математическим знаниям детей дошкольного возраста, но и некоторые методы, преимущественно игровые. Созданные ею игры по нынешний день используются в дошкольных учреждениях для формирования и закрепления математических предтавлений и развития умственных способностей детей. Как считала Ф. Н. Блехер, дидактические игры хотя и являются одним из важных приемов обучения, все же не могут заменить другие его формы и методы.

В начале XX » монографический метод, получивший широкое распространение в детских садах, был некритично воспринят до­школьными работниками. Вплоть до 50-х годов формирование чис­ловых представлений у детей осуществлялось именно по этому мето­ду. Естественно, что и методические разработки того времени содер­жали в себе некоторые идеи монографического метода. В большей мере они нашли отражение в работах Ф. Н. Блехер, Л. В. Гла­голевой, о чем свидетельствует обилие предлагаемых ими упражне­ний на распознавание, подбор изображения, изучение состава чисел.

Труды Е. И. Тихеевой, Ф. Н. Блехер и др. послужили основой дальнейшей разработки и совершенствования психолого-педагогических методов первоначального формирования математических представлений.