Двоичная, десятичная и шестнадцатеричная системы

Значение числа, представленного конечной дробью, в n-ичной системе счисления

a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k,

где «,» – разделитель целой и дробной частей; a_i, i = –k, m; или с явным указанием основания системы счисления

(a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k)_n,

определяется по формуле

a_mn^m + a_m–1n^m–1 + … + a₁n¹ + a₀n⁰ +

+ a_–1n^–1 + a_–2n^–2 + … + a_–kn^–k =

В информатике и вычислительной технике широко используются следующие системы счисления:

- двоичная n = 2; используемый алфавит: A = {0, 1}; например, 0111000₂;

- десятичная n = 10; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; например, 102₁₀; в дальнейшем числа без указания основания системы счисления будем считать десятичными;

- шестнадцатеричная n = 16; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; цифры A, B, C, D, E, F имеют десятичные количественные эквиваленты 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно; например, AB034D₁₆.

Представление цифр в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления представлено в таблице.

В вычислительной технике используется двоичная система счисления, то есть все числа и данные представляются в виде последовательности нулей и единиц (бит). Двоичная система счисления обладает следующими преимуществами перед системами счисления с другими основаниями:

- для реализации двоичных цифр необходимы технические устройства с двумя устойчивыми состояниями: «ток есть» – «ток отсутствует», «намагничено» – «не намагничено» и т. п., а не с десятью – как в десятичной системе счисления;

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- для выполнения арифметических операций используется простой аппарат алгебры высказываний (булевой алгебры).

В вычислительной технике процессы ввода, вывода и обработки числовых данных связаны с преобразованием чисел из одной системы счисления в другую. Поэтому рассмотрим правила перевода чисел одной системы счисления в систему счисления с другим основанием.

Перевод целого или дробного числа из n-й системы счисления в десятичную - число из n-й системы счисления в десятичную переводится с использованием формализованного представления числа.