Энергия электронов в кристалле

Электрон является одной из основных элементарных частиц нашего мира, одной из главных структурных единиц материи. Электроны образуют электронные оболочки всех атомов, молекул, присутствуют в виде «электронного газа» в металлах, полупроводниках, являются составной частью четвертого агрегатного состояния вещества – плазмы. Пучок электронов можно получить за счет различных видов эмиссии (термо, авто, фото) из твердых тел. Естественными источниками быстрых электронов (бета-частиц) являются бета-радиоактивные ядра атомов.

Электрон характеризуется рядом свойств, отличающих его от других элементарных частиц. Это четыре характеристики:

1) заряд электрона е= -1,6021892×10^-19 Кл;

2) масса покоя кг;

3) собственный момент количества движения (спин) ;

4) собственный магнитный момент .

Электрон, кроме обычных трех степеней свободы (х, y, z), обладает четвертой – внутренней степенью свободы – спином . Спиновое квантовое число характеризует проекцию собственного момента количества движения (углового момента) на некоторое физически реализуемое преимущественное направление. Для электрона спиновое число имеет два значения: и .

Собственный магнитный момент – следствие того, что электрон обладает зарядом и спином. Так как заряд отрицательный, то магнитный момент направлен против спинового углового момента.

Говорить о радиусе электрона (как и других элементарных частиц) нельзя. Можно указать лишь величину так называемого классического радиуса электрона . Его определение основывается на предположении об электромагнитном происхождении полной массы электрона. В связи с этим наличие электрического заряда у электрона приводит к появлению у него инерции, т.к. движущийся электрон образует вокруг себя магнитное поле, на создание которого затрачивается энергия.

м.

Однако силы, удерживающие заряд электрона в радиусе , не могут быть чисто электромагнитными. Электрон не смог бы сохранить свою устойчивость. Проблема электрона не решена.

Чтобы выяснить, как влияет объединение атомов в кристалле на энергетическое состояние и поведение входящих в них электронов, рассмотрим одномерную цепочку атомов Nа, расположенных на больших расстояниях друг от друга Х.

На рис. 2.4 показаны два атома такой цепочки. Изображены потенциальные воронки, характеризующие потенциальную энергию электронов в атоме. Горизонтальными линиями схематически показаны энергетические уровни. Точки на линиях – это электроны Na=Z(11). Уровни не все укомплектованы полностью. Уровень 3S заполнен наполовину – один электрон. Воронки атомов не перекрываются, т.е. электроны одного атома не испытывают воздействия со стороны другого атома. Каждый атом – обособленная система.

Рис. 2.4 – Энергия электронов в атоме

Сблизим атомы (а=Х). Слева цепочка идет за пределы рисунка, справа кончается. Теперь, как показано пунктиром на рис. 2.5, воронки атомов перекрываются. То есть электрон среднего атома испытывает притяжение не только к своему ядру, но и к соседнему. Теперь все электроны кристалла можно разделить на 2 группы:

1) электроны внутренних оболочек атомов, которые и после сближения находятся в глубоких потенциальных ямах. Электроны этой группы сильно связаны и локализуются около ядер своих атомов;

2) валентные электроны (3S). Видно, что уровень их энергии выше потенциальной энергии внутри кристалла. Валентные электроны, по сути дела, могут беспрепятственно перемещаться по всему кристаллу. Их называют свободными. Однако на границе цепочки кривая потенциальной энергии поднимается, образуя высокий барьер, т.е. электроны свободны только внутри кристалла.

Рис. 2.5 – Энергия электронов в кристалле

Может возникнуть предположение, что теперь у одного из атомов может быть два или больше валентных электронов с одной энергией, т.е. как бы нарушается закон Паули. Однако это противоречие снимается изменением энергетического состояния электрона из-за перекрытия волновых функций электронов. Возьмем принцип неопределенности Гейзенберга, который через энергию выражается как

,

где – время пребывания электрона в энергетическом состоянии от e до e + De, h – постоянная Планка.

В изолированном атоме электрон может находиться сколь угодно долго ( ® ¥) на своем энергетическом уровне.

В кристалле валентный электрон движется со скоростью 10⁵ м/с, а размеры атома примерно 10^-10 м, поэтому время пребывания в зоне атома примерно 10^-15 с. Можно сделать вывод, что энергетический уровень валентных электронов в кристалле вырождается из линии в зону, ширина которой может быть определена как

эВ.

Итак, при объединении атомов происходит расщепление энергетических уровней в зоны. И не только для валентных электронов, но для всех более высокоэнергетических. Так как определяется размерами кристаллической решетки, ширина энергетической зоны не зависит от размеров кристалла, а зависит от природы кристалла (рода атома, постоянной решетки).

Уровни электронов, лежащих в потенциальной яме, также расщепляются, т.к. не исключена возможность тунелирования и волновые функции этих электронов распространяются в других атомах. Чем ближе к ядру, тем меньше расщепление и их можно считать вырожденными. В атоме линия – 1S , в кристалле зона – 1S и т.д. (рис. 2.6).

Высокая (» 10²⁸ м^-3) концентрация атомов в кристалле при эВ определяет настолько малое расстояние между подуровнями, что спектр энергий электронов в пределах зоны можно считать практически непрерывным.

Поведение электронов в заполненной и незаполненной энергетических зонах различается.

В заполненной энергетической зоне отсутствуют энергетически свободные уровни, и электроны не могут в пределах этой зоны изменять свое энергетическое состояние.

Рис. 2.6 – Зонная структура кристалла. Между энергетическими

зонами – зоны запрещенные

В незаполненной энергетической зоне имеются свободные (разрешенные) уровни, т.е. электроны способны при малейшем воздействии на них изменять свою энергию.

Если на кристалл наложить электрическое поле, то электроны в заполненной зоне не могут изменять свою энергию и состояние электронов не изменяется.

Если энергетическая зона заполнена не полностью, то возможен переход электронов под действием поля на более высокие энергетические уровни, а следовательно, движение электронов, т.е. электропроводимость.

На основе таких представлений зонная теория объясняет деление твердых тел на проводники, полупроводники и диэлектрики.

2.3 Электрические свойства кристаллов

Первая группа характеризуется неполным заполнением верхней из разрешенных зон, содержащих электроны. Нa уровне 3S вместо двух электронов находится один. При объединении в кристалл формируется зона проводимости, которая примыкает к валентной зоне проводимости (рис. 2.7, а).

Если запрещенная зона узкая (0,5¸1,2 эВ) – это собственные полупроводники (рис. 2.7, б).

Если запрещенная зона широкая (4¸5 эВ) – это диэлектрики (рис. 2.7, в).

Увеличение импульса электронов вдоль какого-либо направления связано с возрастанием их энергии и переходом на более высокие энергетические уровни. Однако в кристаллах (диэлектриках) невозможен переход электронов на более высокие уровни за счет электрического поля, поскольку свободная и заполненная разрешенные зоны разделены запрещенной зоной, ширина которой много больше энергии, приобретаемой электроном на длине волны l. Действительно, l » 10^-8 м, и в поле напряженностью 10⁴ В/м он приобретает энергию » 10^-4 эВ, а ширина запрещенной зоны » 5 эВ. Таким образом, направленное движение носителей заряда в кристаллах с целиком заполненными зонами невозможно. Это изоляторы.

Электроны частично заполненных зон в силу квазинепрерывности зон могут увеличивать энергию и участвовать в направленном движении под действием сколь угодно слабых полей. Это проводники.