Решение задачи Лагранжа .
Задача Лагранжа в классическом ее понимании заключается в следующем.
В цилиндре , ограниченном слева неподвижной стенкой и безгранично продолженном вправо на расстоянии l0 от дна цилиндра находится поршень весом q . Площадь поперечного сечения цилиндра равна S0 . В пространстве между дном цилиндра и поршнем находится кг газа под давлением p0 с плотностью 0 . Газ однороден и неподвижен . В момент t = 0 поршень получает возможность двигаться без сопротивления под действием давления газа . Движение газа является одномерным , влияние теплоотдачи не учитывается . Требуется определить возможное в этих условиях движение газа и движение поршня. Таким образом задача Лагранжа сводится к основной задачи внутренней баллистики в предположении о мгновенном сгорании заряда и отсутствии теплоотдачи сопротивления движению и других второстепенных работ , за исключением движения газа . Задача поставленная в 1790г. неоднократно привлекала к себе внимание многих ученых : Пиддек ( 1921г. ) , Госсо и Лиувиль(1922г. ) , Фок( 1935г. ) , Платрие ( 1936г. )-вот далеко не полный перечень ученых , посветивших свои работы решению этой задачи . Наиболее полно она решена С.А. Бетехтиным (1948г.) с учетом коволюма газа для каморы с уширением , с учетом теплоотдачи . Позднее она решалась Л.Л. Поповым , Зайченко Ю.И. ( в оссиметричной постановке ) , Никулиным О.А. в новых относительных переменных , Ушаковым В.М. , Комаровским А.В. и другими .
Решение задачи Лагранжа имеет большое практическое значение , т.к. позволяет установить основные закономерности движения газов и в более сложных случаях , каким является течение газопороховой смеси при выстреле из орудия .
С газодинамической точки зрения задача Лагранжа является задачей об одномерном неустановившемся движении газа при соответствующих начальных и граничных условиях . Если поместить начало координат у дна цилиндра и направить ось X в сторону движения поршня , то начальными условиями будут следующие : при t =0 0=<x<l0 , Р=Р0 , , U=0 , T=T0 .
Граничные условия вытекают из того обстоятельства , что слои газа непосредственно прилегающие к дну цилиндра и к дну поршня не могут ни проникнуть через эту поверхность , ни отставать от них . По этому граничные условия будут формулироваться следующим образом :
X=0 , U=0
X=l+l0 , ( 11,14 )
где l - путь , пройденный поршнем к рассматриваемому моменту времени .
Допустим , что газ идеальный . Рассмотрим область движения в плоскости X,t . Слева она ограничена осью t , а справа - неизвестной еще нам кривой , изображающей закон движения поршня X=f(t) . Начальными условиями определены все искомые функции на отрезке 0 - l0 оси X . Известно , что f'(0)=0 , f''(0)>0 , f''(t)>0 , т.е. поршень начинает двигаться с нулевой скоростью , но с конечным ускорением , причем ускорение поршня остается положительным во время его движения . Поскольку слой газа , примыкающий к дну поршня не может ни оторваться , ни обогнать поршень в своем движении , будет всегда выполняться условие :
Ux=f(t)=f'(t)
где Ux=f(t) - скорость слоев газов , прилегающих к дну поршня . Таким образом скорость , а следовательно и остальные параметры переднего слоя будут непрерывно изменяться в результате движения поршня .
Расширение бесконечно тонкого газа будут вызывать расширение соседнего слоя газа , а это в свою очередь приведет к последовательному расширению все более и более удаленных слоев газов. Погазу будет распостраняться волна разряжения . Поскольку поршень движется с конечным ускорением , то за бесконечно малый промежуток времени скорость , а следовательно остальные параметры газа будут изменятся на бесконечно малую величину . Но ,как известно , бесконечно малые изменения параметров газа распостраняются по массе газа ,т.е. передаются от слоя к слою с вполне определенной скоростью , зависящей от давления и плотности газа и носящей название местной скорости звука в газе . Если при этом сами слои газа двигаются со скоростью "U" вправо , то бесконечно малые изменения параметров газа или элементарные возмущения будут перемещаться относительно неподвижных стенок трубы по закону
(11.15) , где С –скорость звука в газе (уравнение 11.15 нельзя записать в конечном виде т.к. "U" и "c" могут быть функциями "x" и"t" ).
Допустим ,что нам удалось найти частное решение системы (11.13), т.е. отыскать такие две функции : и , которые удовлетворяют уравнениям (11.13) и граничному условию , имея это решение , мы можем построить в плоскости (x,t) систему линий
, которые называются характеристиками (рис… фиг.2).
В условиях задачи Лагранжа , линии будут прямыми , идущими расходящимися пучками , т.е. на одно элементарное возмущение не будет в процессе своего перемещения обгонять предыдущее ,т.к. скорость звука падает при расширении . А так как каждое последующее элементарное возмущение распостраняется по газу , все более и более разряженному , воздействием предыдущих возмущений , то отсюда и следует , что одно последующее возмущение не сможет догнать предыдущее . Система значений U=0 и с=с0 нетрудно убедится , также будет одним из частных решений системы U=U1(x,t) и c=c1(x,t) будут справедливы лишь выше линии ОА . Таким образом вдоль линии ОА происходит переход от одного частного решения системы к другому .
Как было показано выше вдоль характеристик выполняются соотношения , аналогично вдоль характеристики , идущей вправо будет выполнятся соотношение или окончательно можно записать : (11.16)
( характеристики I семейства
(11.17)
( характеристики II семейства
S и R называются инвариантами Римана .
Уравнения (11.16) и (11.17) имеют вполне определенный физический смысл. Уравнения характеристик в плоскости x, t как следует выше описывают законы перемещения элементарных возмущений . Уравнения же характеристик в плоскости искомых функций определяют связь между изменениями скорости течения "U" и местной скорости звука –"с" , которая должна выполнятся при перемещении данного элементарного возмущения .
Значения "U" и "с" в любой точке области движения можно выразить через S и R в этой точке , т.е. через значения постоянных интегрирующих вдоль характеристик , противоположных семейств , проходящих через данную точку , (11.18)
Поскольку S или R сохраняют постоянное значение вдоль данной характеристики соответственного семейства , но могут принимать различные значения вдоль различных характеристик этого семейства , то вообще говоря возможно следующие три случая :
1. В некоторой части плоскости (x, t) S имеет на всех характеристиках I семейства одно и то же значение S=Idcm, а R=Idm. одно и то же значение на всех характеристиках II семейства в этой же части плоскости ,т.е. во всех точках плоскости U=const и c=const , т.е. поток газа будет в этой части плоскости однородным . Если при этом S=R,то U=0 ,а с=с0 рассматриваемая область будет областью покоя ( рис…)
2. Постоянные интегрирования одного из семейств ( предположим ,что I семейства ) сохраняет постоянное значение в некоторой области (S=Idm.) постоянные же интегрирования другого семейства (II семейства ) R меняется от характеристики к характеристике. Поэтому в пределах рассматриваемой области вдоль каждой характеристики II семейства в плоскости x, t скорость течения "U" и местная скорость звука будут сохранять постоянные значения (S=Idm. R=const вдоль этой характеристики ) I семейства , то сами характеристики II семейства будут прямыми линиями. Течения такого рода носят названия волн одного направления (рис..) .Так как вдоль линии ОА все характеристики I семейства имеют одно и то же значение S=Idm, то в области волны одного направления характеристики II семейства будут прямыми линиями , а характеристики I семейства, где в каждой точке только S=const ,а R –меняется ,эти характеристики I семейства будут кривыми линиями . Характеристики I семейства –кривая АВ будет отделять область волны одного направления от области , где S, R меняться от характеристики к характеристики ( область общего случая неустановившегося движения в газе ).
3. Третий случай , когда в пределах рассматриваемой области оказываются переменными как S так и R это является наиболее общим случаем неустановившегося движения газа . Для этого случая нельзя установить каких-либо иных закономерностей , кроме тех, которые заложены в самих уравнениях характеристик.
В области волны одного направления параметры газа и скорость течения , а также закон движения поршня находятся по аналитическим зависимостям . В общим случае , задачи решаются численно . Если ОА разбить на 256 отрезков , то значения находятся с точностью до 0,1% в области волны одного направления , эту точность можно перенести и в общий случай . Как правило , чтобы уменьшить количество вариантов задача Лагранжа решается в относительных переменных . Обычно за отнсительные переменные принимаются :
, , , , , , (11.19)
Такие относительные переменные неудобны при оценке влияния коволюма газа , ускорения поршня длины ствола , уширения каморы .
В частности ,в этих относительных переменных решена задача Лагранжа ,С.А. Бетехтиным ,Н.Н. Поповым и другими . Из результатов решения трудно выявить волновую картину процесса расширения газа .
О.А. Никулиным предложены новые относительные переменные , которые свободны от перечисленных выше недостатков .
За единицу измерения параметров принимаются : , где - аналог скорости звука в газе , равный
(11.20)
- начальное ускорение поршня (11.21)
S0 –площадь сечения канала ствола
q –вес снаряда
Р0 –начальное (максимальное давление газа)
Т0 –начальная температура(max)
R –газовая постоянная
- ковалюм единицы массы газа
-начальная плотность газа (max)
K –показатель адиабаты
Тогда , , , , , , , (11.22)
В области волны одного направления относительные переменные определяются по следующим формулам ( в зависимости от )
(11.23)
(11.24)
(11.25)
(11.26)
(11.27)
(11.28) (11.29)
Уравнение справедливо до момента т. В ,когда отраженная от дна канала ствола волна догонит снаряд
(11.30)
Откуда оптимальный относительный вес газа
(11.31) , т.е. когда отраженная от дна каморы волна догонит снаряд у дульного среза .
Из выражения (11.20-11.31) следует ,что скорость снаряда и параметры газа , а также оптимальное значение при одних и тех же значениях и длине ствола S0 не зависят от ковалюма газов влияет только на объём каморы , или длину каморы при S0=const увеличивая её на величину . Численные расчеты показывают справедливость такого вывода и в более общем случае .
газ водород
Таблица 25
0,7881 | 0,1671 | 0,00157 | 0,7882 | 0,1671 | 0,0016 |
0,6351 | 0,3137 | 0,00650 | 0,6352 | 0,3137 | 0,0065 |
0,5242 | 0,4440 | 0,0150 | 0,5214 | 0,4440 | 0,0152 |
0,4344 | 0,5614 | 0,0276 | 0,4346 | 0,5614 | 0,0275 |
0,3668 | 0,6673 | 0,0437 | 0,3669 | 0,6669 | 0,0437 |
0,3134 | 0,7638 | 0,0641 | 0,3135 | 0,7634 | 0,0640 |
0,2704 | 0,8519 | 0,0885 | 0,3705 | 0,8519 | 0,0885 |
0,2553 | 0,9336 | 0,1172 | 0,2354 | 0,9332 | 0,1172 |
0,0881 | 1,1314 | 0,2606 | 0,0883 | 1,1311 | 0,2602 |
0,0361 | 1,262 | 0,5385 | 0,0361 | 1,2613 | 0,5373 |
0,01558 | 1,354 | 1,0472 | 0,0155 | 1,3533 | 1,0439 |
0,00689* | 1,421* | 1,9520* | 0,0069* | 1,4205* | 1,9456* |
0,003116 | 1,472 | 3,548 | 0,0031 | 1,4718 | 3,5328 |
0,001427 | 1,512 | 6,3531 | 0,0014 | 1,5113 | 6,3222 |
В таблице отмечены изменения давления на снаряд , относительная скорость снаряда и относительный путь снаряда для идеального водорода ( ) и реального водорода ( ). Из таблицы видно ,что коволюм не влияет на эти характеристики и так как расчеты проводились в абсолютных значениях величин , а обработка в новых относительных переменных , то видно ,что точность расчета выше чем 0,1% (при сравнении с аналитическими формулами (11.20)-(11.31)).
На рис…показано изменение относительного давления от скорости снаряда , а на рис….. изменение относительной скорости от относительного пути снаряда . Из рис. 1 и 2 видно ,что огибающие кривых соответствуют случаю когда ∞ , точками 0.5;1.0;1.5;2.0;2.5;3.0;3.5;4.0;5.0;6.0;7.0 соответствует значению , и т.д. и они показывают :
1. при заданной относительной длине ствола , соответствует максимальной относительной скорости снаряда и оптимальное значение веса газа , т.е. и
2. Если мы увеличим количество газа , то скорость снаряда ни найоту не увеличивается ,т.е. дополнительное количество газа просто не участвует в передачи энергии снаряду т.к. дополнительного слоя волна разряжения идущая от дна снаряда не успела дойти , а снаряд вылетел из ствола .
Если мы уменьшим количество газа т.е. , то получим резкое падение скорости снаряда при заданной длине ствола
Например, при , , , , ,
при и , , , то есть ни дульная скорость снаряда, ни дульное давление не увеличивалось.
Увеличилась только длина каморы в 1,5 раза . Этот вывод не был бы сделан если бы не делали пересчет при использовании прежних относительных переменных , при при , которое не зависит от (это важно ,при обычных относительных переменных увеличилась бы в 2 раза ) дульная скорость , .
На рис. 3 приведены оптимальные значения для разных газов , принимая
показатель адиабаты для гелия , для водорода и пороховых газов . Уравнения (11.23),(11.26),(11.31)примут вид :
для гелия
для водорода
для пороховых газов
Результаты расчетов представлены в таблице 26
5/3 | 7/5 | 11/9 | 5/3 | 7/5 | 11/9 | 5/3 | 7/5 | 11/9 | |
0,5 | 0,2316 | 0,206 | 0,191 | 0,550 | 0,434 | 0,364 | 0,4996 | 0,4997 | 0,4998 |
1,0 | 2,016 | 1,469 | 1,225 | 1,56 | 1,11 | 0,902 | 0,9949 | 0,9956 | 0,9987 |
1,5 | 12,75 | 6,50 | 4,615 | 3,75 | 2,24 | 1,64 | 1,484 | 1,476 | 1,484 |
2,0 | 25,8 | 14,5 | 4,24 | 2,76 | 1,884 | 1,93 | 1,95 | ||
2,5 | 107,5 | 42,34 | 43,8 | 8,17 | 4,5 | 2,19 | 2,333 | 2,386 | |
3,0 | - | 529,8 | 122,0 | - | 17,0 | 7,25 | - | 2,67 | 2,78 |
3,5 | 358,9 | 11,8 | 3,075 | ||||||
4,0 | 19,7 | 3,42 |
В таблице приведены результаты скорости снаряда в случае использования классического метода расчета –" термодинамического " расширения газа .
,где или окончательно
(11.32)
при одинаковых значениях и .
Из таблицы в частности видно ,что при дульных скоростях снаряда для пороховых газов .
Термодинамическое расширение даёт дульную скорость на 500-600 ниже , а при скорости 3,5-3,8 реально получены на установках ППН для легких снарядов ( ) .Из соотношения (11.32) ,найдем оптимальное значение , которое дает максимальное значение скорости при заданной длине ствола .
Дифференцируя и приравнивая , получим соотношение :
(11.33)
Разрешая это уравнение , находим .
Например . Для пороховых газов получим вместо значение при этом , т.е. 2.5% больше , что не может быть т.к. в передаче энергии снаряду участвует лишь или пусть получим вместо значение при этом вместо , однако количество газа участвующая в передаче энергии снаряду равно . Остальное количество газа лишнее .
11.3 Влияние уширения каморы.
Из графиков рис. 1 и 2 ясно , чтобы увеличить скорость снаряда при заданной природе газа , максимальном давлении и заданной длине ствола , необходимо длину каморы оставить без изменения , но увеличить поперечное сечение каморы ,т.е. x>1 , тогда большее количество газа будет участвовать в передаче энергии снаряду .
Результаты расчетов при больших значениях и резком переходе из газовой каморы l ствол приведены на рис.3 .
Приближенно оценить увеличение скорости снаряда за счет уширения каморы можно по выведенным О.А. Никулиным формулам
(11.34)
увеличение инвариантно S
где "U1", и "U" скорости газа на входе и выходе из соединительного конуса между каморой стволом .
Формула (11.34) выведена при предположении ,что в переходном конусе .
(11.35)
Подставляя (11.35) в уравнении (11.34) окончательно получим
(11.36)
где
Для бесконечного уширения каморы x=∞ получим
(11.37)
Результаты полученные для водорода и гелия при и разных значениях уширения каморы приведены в таблице 27
Таблица 27
водород | гелий | |||
приближенное | точное | приближенное | точное | |
0,388 | 0,302 | 0,347 | 0,288 | |
0,587 | 0,402 | 0,570 | 0,388 | |
∞ | 0,605 | 0,645 |
Точное решение полученное при решении задачи Лагранжа с уширением каморы и 16 при нахождении точного решения радиуса переходного конуса имеем вид (11.38)
где -высота переходного конуса R и r радиусы каморы и ствола , соответственно . В таблице 28 приведены результаты расчетов для реального водорода ( ) с уширением каморы x=16 и разных значениях
Таблица 28
0,1921 | 0,9239 | 0,1358 | 0,0563 | 0,019 | |
0,3757 | 0,8232 | 0,238 | 0,1370 | 0,081 | |
0,5469 | 0,7180 | 0,260 | 0,2871 | 0,187 | |
0,7046 | 0,6212 | 0,3190 | 0,3854 | 0,346 | |
1,1032 | 0,3854 | 0,4684 | 0,6663 | 1,206 | |
1,6860 | 0,1668 | 0,5574 | 1,1286 | 5,03 | |
2,1028 | 0,0800 | 0,5889 | 1,5139 | 13,684 | |
2,207 | 0,0544 | 0,595 | 1,702 | 21,80 | |
73,065 | 0,0074 | 0,5458 | 2,519 | 144,17 |
Как видно из таблицы в случае реального водорода (с учетом ковалюма ) значение приближается к 0,595 т.е. к вычисленной по приближенной формуле 0,587 для идеального водорода . Таим образом реально получить приращение 500-600м/с при одинаковых и максимальных давлениях используя уширение каморы x=16 или .
Этот вывод важен при проектировании пороховых и легкогазовых установок и повышения начальной скорости снаряда из боевого орудия , для получения скорости свыше 2000 м/с.
11.4 Условия постоянного давления на снаряд по всей длине ствола.
При горении пороха рассмотрим характеристику I семейства в области волны одного направления откуда
т.к. имеется зависимость получим
или
(11.39)
где используется соотношение при малых значениях .В случае пороховых газов ,
, т.е. ошибка равна т.е. ошибка составляет 13% в сторону занижения .( , где относительная ошибка ). Рассмотрим пороховую камору большого объёма , когда количеством газа можно пренебречь , тогда
(11.40)
при получим т.к. , то окончательно (11.41), т.е. зная максимальное давление в каморе и давление на снаряд, которое постоянно по стволу и , легко получить марку пороха и все остальные характеристики .
,принимая
и К=11/9 получим ; при .
В качестве воспламенителя можно использовать любой быстро горящий порох , который выводит на заданный уровень давления на дно снаряда ,т.е. порох должен быть комбинированный.
12.Пороховые и легко газовые установки.
Пороховые и легко газовые установки нашли широкое применение при гиперзвуковых исследованиях .
Пороховые установки рис. 55 как и орудие имеет ствол , пороховую камору и затвор . В пороховых установках ППН , созданных под руководством О.А. Никулина : на ствол, навинчивался пороховой стакан , представляющий собой толстостенную болванку со сплошным дном . В болванке имеется камора с уширением x=3,6 переходящая в цилиндр диаметром равным диаметру канала ствола . В ствол помещалось метаемое тело в поддоне. Иногда между стволом и пороховым стаканом помещалась мембрана со специальной насечкой для увеличения давления форсирования снаряда . В дне болванки имелось отверстие , через которое вставлялся инициирующее устройство в камору . Ствол со стаканом размещался на легкой раме . При выстреле установка отскакивала назад . Калибры ствола 23;34;50. Длина ствола 70-80клб. Давление в каморе 10000-15000кг/см2. Скорости ,полученные на установках со снарядом Сq=1,0-2,0кг/дм3 были 3000-2600 м/с соответственно.
На установках использовались штатные пороха. Были проведены специальные стрельбы по выяснению влияния различных фактов влияющих на баллистику выстрела , в частности применение различных добавок и основному заряду , использование комбинированных зарядов и желеобразных топлив и т.д. Проектирование установок базировалось на результатах решения задачи Лагранжа в новых относительных переменных ,предложенных О.А. Никулиным . В дальнейшем установки ППН были модернизированы с увеличением объёма каморы , и её уширения до x=8-9 при этом достигнуты скорости на тех же калибрах . При решении ОЗВБ использовался газодинамический метод , разработанный профессором В.М. Ушаковом.
На установках ППН проведены несколько десятков тысяч опытов . Типичный характер изменения давления от пройденного пути снарядом представлены на рис 56 легкогазовые установки.
Как известно , максимальная возможная скорость неустановившегося течения : , которая прямо пропорционально скорости звука в газе . При одинаковой температуре газа наибольшей энергией будут обладать атомарный водород , гелий , так называемые легкие газы . Скорость звука молекулярного водорода при комнатной температуре примерно 1300м/с , выше скорости звука пороховых газов ( 1000м/с) .Если нагреть легкие газы до температуры 2000-2500К , то скорость звука 3000-4000м/с, а следовательно и максимальная скорость снаряда будет значительно выше , чем она достигнута на пороховых установках . Нагреть водород или гелий можно различными способами : электрическим разрядом , ударной волной, стехиометрической смесью кислорода и водорода (геливопаровая пушка) и движущимся поршнем , который сжимает легкий газ и в процессе сжатия нагревает его до нужной температуры . Поршневые легко газовые установки оказались наиболее перспективные и на них достигнуты скорости до 12 км/с ,скорости 7-8км/с являются рабочими скоростями ЛГУ , где используется деформируемый поршень . На рис.57 показано схематически ЛГУ с легким поршнем .
ЛГУ состоит из пороховой каморы поз.1 , в которой размещен пороховой заряд и газовой каморы поз.4, в которую накачивается легкий газ ( водород или гелий )при комнатной температуре до давления 5-30кг/см2 . Пороховая камора отделена от газовой поршнем , выполненного из легко деформируемого материала (полиэтилена ). Газовая камера соединяется со стволом (поз.8) с помощью конического переходника (поз.5) , выдерживающей высокие давления газа (8000-15000кг/см2) . В ствол вставляется снаряд (поз.9) , состоящей из метаемого тела , которое помещается в поддоне из легкого прочного материала , так что относительный вес снаряда Сq=1-3кг/дм3. Метаемое тело отделено от легкого газа диафрагмой (поз.10) , которая раскрывается при определенном заданном давлении ( давления форсирования –Рф). Установка работает следующим образом : при подаче электрического импульса на инициирующее устройства, устройство срабатывает и воспламеняет пороховой заряд . При достижении давления форсирования , которое больше или равно начальному давлению водорода , поршень начинает двигаться по газовой камере . По мере сгорания порохового заряда поршень двигаясь с большой скоростью сжимает легкий газ и нагревает его : создаются определенные условия по давлению и температуре . При достижении заданного давления легкого газа –Рф диафрагма разрывается и снаряд – метаемая сборка под действием легкого газа разгоняется по вакуумированому стволу до заданной скорости . Такая легко газовая установка называется двух ступенчатой ЛГУ с "легким " поршнем . В первую ступень входит пороховая камера и поршень. Выстрел из первой ступени подобен выстрелу из обычного орудия с противодавлению снаряду . Решение задачи внутренней баллистики первой ступени и методы идентичны ОЗВБ орудия. Здесь могут быть использованы как газодинамический , так " термодинамический " методы решения . Разделение поршней на "тяжелый " и "легкий" связано с достижением поршнем скорости больше или меньше скорости звука . При малых скоростях поршня ("тяжелый" поршень ) ударной волны не образуется в легком газе и метод характеристик , изложенный выше как правило используется при решении ОЗВБ второй ступени . В случае использования "легкого " поршня газодинамический подход к решению ОЗВБ второй ступени обязательные методы "сквозного " счета , где ударная волна "размазывается " за счет введения "искусственной " вязкости газа .
Типичная картина изменения давления в пороховой и газовой камерах представлены на рис…..
Исследование внутренней баллистики ЛГУ усложняется не только за счет увеличения количества параметров , от которых зависит процесс выстрела , но и конструктивным оформлением поршня, диафрагмы , метаемой сборки , наличие конического переходника , в котором происходит торможение поршня в целом при одновременном ускорении его переднего торца за счет "гидроэффекта " . Приборы и аппаратура используемая при внутри баллистических исследованиях базируется на последних достижениях науки и техники в области быстропротекающих процессов и главное –результаты исследований , достижения в ЛГУ вполне могут быть перенесены на баллистику орудия . В этом смысле исследование в ЛГУ –это "форпост" в баллистике орудия. В доказательство этого вывода являются докторские диссертации Л.В. Комаровского , Ю.П. Хоменко , В.М. Ушакова , В.В. Жаровцева и др.
Дата добавления: 2015-07-06; просмотров: 3297;