Лекция. Состояние и функционирование систем

Состояние.Понятием состояние обычно характеризуют мгновенную фотографию, «срез» системы, остановку в её развитии. Его определяют либо через входные воздействия и выходные сигналы (результаты), либо через свойства, параметры системы (например, давление, скорость, ускорение - для физических систем; производительность, себестоимость продукции, прибыль - для экономических систем).

Таким образом, состояние - это множество существенных свойств, которыми система обладает в данный момент времени.

Возможные состояния реальной системы образуют множество допустимых состояний системы.

Количество состояний (мощность множества состояний) может быть конечно, счетно (количество состояний измеряется дискретно, но их число бесконечно); мощности континуум (состояния изменяются непрерывно и число их бесконечно и несчетно).

Состояния можно описать через переменные состояния. Если переменные – дискретные, то количество состояний может быть либо конечным, либо счетным. Если переменные – аналоговые (непрерывные), тогда - мощности континуум.

Минимальное количество переменных, через которые может быть задано состояние, называется фазовым пространством. Изменение состояния системы отображается в фазовом пространстве фазовой траекторией.

Поведение.Если система способна переходить из одного состояния в другое (например, s₁ →s₂ →s₃ → ...), то говорят, что она обладает поведением. Этим понятием пользуются, когда неизвестны закономерности (правила) перехода из одного состояния в другое. Тогда говорят, что система обладает каким-то поведением и выясняют его характер.

Равновесие.Способность системы в отсутствии внешних возмущающих воздействий (или при постоянных воздействиях) сохранять своё состояние сколь угодно долго. Это состояние называют состоянием равновесия.

Устойчивость.Способность системы возвращаться в состояние равновесия после того, как она была из этого состояния выведена под влиянием внешних (а в системах с активными элементами – внутренних) возмущающих воздействий.

Состояние равновесия, в которое система способна возвращаться, называют устойчивым состоянием равновесия.

Развитие.Под развитием обычно понимают увеличение сложности какой-либо системы, улучшение приспособленности к внешним условиям. В результате возникает новое качество или состояние объекта.

Целесообразно выделять особый класс развивающихся (самоорганизующихся) систем, обладающих особыми свойствами и требующих использования специальных подходов к их моделированию.

Входы системых_i – это различные точки воздействия внешней среды на систему (рис. 1.3).

Входами системы могут быть информация, вещество, энергия и т.д., которые подлежат преобразованию.

Обобщённым входом (X) называют некоторое (любое) состояние всех r входов системы, которое можно представить в виде вектора

X = (x₁, x₂, x₃, …, x_k, …, x_r).

Выходы системыy_i – это различные точки воздействия системы на внешнюю среду (рис. 1.3).

Выход системы представляет собой результат преобразования информации, вещества и энергии.

Движение системы– это процесс последовательного изменения её состояния.

Рассмотрим зависимости состояний системы от функций (состояний) входов системы, её состояний (переходов) и выходов.

Состояние системы Z(t) в любой момент времени t зависит от функции входов X(t), а также от предшествующих её состояний в моменты (t – 1), (t – 2), …, т.е. от функций её состояний (переходов)

Z(t) = F_c [X(t), Z(t – 1), Z(t – 2), ...], (1)

где F_c – функция состояния (переходов) системы.

Связь между функцией входа X(t) и функцией выхода Y(t) системы, без учёта предыдущих состояний, можно представить в виде

Y(t) = Fв [X(t)],

где F_в – функция выходов системы.

Система с такой функцией выходов называется статической.

Если же выход системы зависит не только от функций входов X(t), но и от функций состояний (переходов) Z(t – 1), Z(t – 2), ..., то

(2)

системы с такой функцией выходов называются динамическими (или системами с поведением).

В зависимости от математических свойств функций входов и выходов систем различают системы дискретные и непрерывные.

Для непрерывных систем выражения (1) и (2) выглядят как:

(3)

(4)

Уравнение (3) определяет состояние системы и называется уравнением состояний системы.

Уравнение (4) определяет наблюдаемый выход системы и называется уравнением наблюдений.

Функции F_c (функция состояний системы) и F_в (функция выходов) учитывают не только текущее состояние Z(t), но и предыдущие состояния Z(t – 1), Z(t – 2), …, Z(t – v) системы.

Предыдущие состояния являются параметром «памяти» системы. Следовательно, величина v характеризует объём (глубину) памяти системы.

Процессы системы– это совокупность последовательных изменений состояния системы для достижения цели. К процессам системы относятся:

– входной процесс;

– выходной процесс;

– переходный процесс системы.

Входной процесс– множество входных воздействий, которые изменяются с течением времени. Входной процесс можно задать, если каждому моменту времени t поставить в соответствие входные воздействия

Моменты времени t определены на множестве Т, В результате этот входной процесс будет представлять собой функцию времени X(t).

Выходной процесс– множество выходных воздействий на окружающую среду, которые изменяются с течением времени.

Воздействие системы на окружающую среду определяется выходными величинами (реакциями). Выходные величины изменяются с течением времени, образуя выходной процесс, представляющий функцию Y[t].

Переходный процесс системы (процесс системы)– множество преобразований начального состояния и входных воздействий в выходные величины, которые изменяются с течением времени по определённым правилам.