Рівняння витрати за методом змінного перепаду тиску

Розглянемо стаціонарний (усталений) режим руху елементарної струминки рідини (газу), наведеної на рис. 1.

Рис. 1. Схема руху елементарної струминки рідини (газу)

Під час стаціонарного руху в будь-якій точці простору зберігаються незмінними в часі швидкість руху і стан рідини, газу (густина, тиск, температура). Траєкторії частинок за такого руху називаються лініями струму. Бічна поверхня струминки, що називається поверхнею струму, є для середовища непроникною. Відповідно до вказаного на рис. 1.1 напряму руху притік середовища здійснюється лише через поперечний переріз 1, а відтік середовища – тільки через переріз 2. Притік середовища через переріз 1 за нескінченно малий проміжок часу dt, виражений через масу середовища, буде дорівнювати:

dm₁=r₁U₁ F₁ dt, (1.1)

де r₁, U₁, F₁ – відповідно, густина середовища, швидкість потоку середовища і площа поперечного перерізу потоку в перерізі 1.

Відтік середовища через переріз 2 за нескінченно малий проміжок часу dt відповідно буде дорівнювати:

dm₂=r₂U₂ F₂ dt, (1.2)

де r₂, U₂, F₂ – відповідно, густина середовища, швидкість потоку середовища і площа поперечного перерізу потоку в перерізі 2.

За усталеного режиму руху і відсутності розривів суцільності рухомого середовища його притік dm₁ за одиницю часу dt повинен дорівнювати відтоку dm₂ за той самий час dt

. (1.3)

Рівняння (1.3) описує закон збереження маси, а відношення називають масовою витратою середовища q_м. Застосовуючи рівняння (1.3), запишемо рівняння нерозривності струмини потоку одиничної струминки середовища при усталеній її течії у вигляді:

q_м = r ₁U₁ F₁ = r ₂U₂ F₂. (1.4)

Рух потоку газоподібного середовища через пристрій звуження потоку аналогічний руху потоку реальної рідини і схематично зображений на рис.2.

Основна відмінність газоподібного середовища від реальної рідини полягає у тому, що газоподібне середовище є стискуваним, тобто його густина залежить від тиску. І це повинно бути враховано під час виведення рівняння витрати.

Для виведення рівняння витрати газоподібного середовища застосовують закон збереження маси, який описується рівнянням (1.4), та закон збереження енергії у такій формі:

(1.5)

де L_тр – робота на подолання сил тертя; g – прискорення земного тяжіння.

Термодинамічний процес перетікання газоподібного середовища через пристрій звуження потоку близький до адіабатичного і, в зв’язку з цим, описується рівнянням адіабатного процесу

, (1.6)

де – показник адіабати газоподібного середовища.

Рівняння (1.5) з врахування (1.6) запишеться як

, (1.7)

яке після інтегрування набере вигляд:

. (1.8)

Рис.2.Схема протікання реальної нестискуваної рідини через діафрагму

Із рівняння нерозривності (1.4) знайдемо значення середніх швидкостей ` і через середню швидкість в отворі діафрагми :

; (1.9)

, (1.10)

де m_Г – коефіцієнт звуження струмини для газу, b - відносний діаметр отвору пристрою звуження, b = d/D.

Прийнявши L_тр =0, h₁ = h₂ із врахуванням рівнянь (1.9) та (1.10), розв’яжемо рівняння (1.8) відносно швидкості і відповідно до (1.4) отримаємо рівняння для визначення масової витрати газоподібного середовища у вигляді

(1.11)

, де – діаметр отвору або горловини пристрою звуження потоку при робочій температурі; Е – коефіцієнт швидкості входу

Помножимо і розділимо праву частину рівняння (1.11) на вираз коефіцієнта витікання С:

.

Отримаємо остаточне рівняння масової витрати газоподібного середовища:

, (1.12)

де

. (1.13)

Коефіцієнт називають коефіцієнтом розширення потоку газоподібного середовища. Для рідин .

Взаємозв'язок між масовою витратою газу , об'ємною витратою газу в робочих умовах і об'ємною витратою газу , приведеною до стандартних умов, відображається такими рівняннями:

; (1.14)

; (1.15)

, (1.16)

де – густина газу за стандартних умов.

Розрахунок витрати виконують ітераційним шляхом за методикою, викладеною в ДСТУ ГОСТ 8.586.5:2009.

У якості стандартних пристроїв звуження потоку застосовують діафрагми, сопла, труби Вентурі (див.рис.3)

1 – вхідний торець діафрагми; 2 – вихідний торець діафрагми; G – вхідний кант діафрагми
а)	б)
А – вхідна циліндрична ділянка; B – збіжна конічна частина; С – горловина; Е – дифузор; F – площини з’єднання елементів труби Вентурі
в)
Рисунок 3. Стандартні пристрої звуження потоку: а) стандартна діафрагма; б) сопло ISA 1932; в) труба Вентурі.