Рекурсивное программирование

Среди упомянутых выше методов формализации понятия вычислимой функции метод Тьюринга — Поста основан на уточнении понятия процесса вычислений, для чего используются абстрактные «машины», описанные в точных математических терминах. Другой подход (метод Черча — Клини) основан на понятии рекурсивной функции, рекурсивная функция задается с помощью рекурсивных определений. Рекурсивное определение позволяет связать искомое значение функции для заданных аргументов с известными значениями той же функции при некоторых других аргументах. Эта связь устанавливается с помощью универсального механизма рекурсии, дающего механическую процедуру поиска значений функции. Двум подходам к определению вычислимых функций соответствуют два метода программирования этих функций — операторное и рекурсивное программирование. При операторном методе программа представляет собой явно выписанную последовательность, описаний действий гипотетической вычислительной машины (последовательность операторов, команд и т. п.).

Язык Фортран — типичный представитель операторных языков. С другой стороны, рекурсивная программа — это совокупность рекурсивных определений, задающих рекурсивную функцию, для которой аргументами служат начальные данные программы, а значением — результат выполнения программы. Известный язык рекурсивного программирования — язык Лисп — предназначен для обработки символьной информации. В других зыках комбинируют оба метода программирования. Так, Паскаль — операторный язык с возможностью рекурсивного программирования, предоставляемой механизмом рекурсивных процедур и функций.

Примером рекурсивно определяемой функции является факториальная функция FACT: Nat → Nat:

FACT(х) = 1, еслих = 0,FACT(х) =х ´ FACT(х - 1),если х > 0.

Операторные программы, вычисляющие значения этой функции, приведены в п. 1.1.3. Эту же функцию можно запрограммировать в некотором рекурсивном языке, базирующемся на механизме рекурсивных функций языка Паскаль:

FACT(a),

FACT(х) = ifх = 0 then1 elseх ´ FACT(х - 1),

где а — некоторое целое неотрицательное число.

Выполнение этой программы для некоторого значения а (пусть а = 4) может быть осуществлено следующим образом. В обе части рекурсивного определения вместо х подставляется 4, после чего вычисляется правая часть определения. Вычисление правой части начинается с вычисления логического выражения. Если его значение 1 (истина), то вычисляется левое функциональное выражение (стоящее после то), а если его значение 0 (ложь) — вычисляется правое выражение (стоящее после else).Вычисление функционального выражения сводится к его упрощению, т. е. выполнению всех возможных вычислений. Если в упрощенном выражения остается вхождение символа определяемой функции FACT, то осуществляется переход к новому шагу выполнения программы. На этом шаге вхождение FACT(m), где m — значение внутри скобок после упрощения, заменяется левым (m = 0) или правым (m > 0) функциональным выражением, в котором все вхождения х заменены на m. Упрощения продолжаются до тех пор, пока не будет получено выражение, не содержащее FACT (в нашем случае это выражение — число).

Вычисление рекурсивной программы может завершиться за конечное число шагов с результатом, равным значению запрограммированной функции для заданных аргументов (начальных значений переменных), но может и продолжаться бесконечно. В последнем случае значение функции не определено.