Измеримые свойства алгоритмов.

Если задана реализация алгоритма на некотором языке можно идентифицировать все операнды, определенные как переменные или константы, используемые в этой реализации. Аналогично можно идентифицировать все операторы, определенные как символы или комбинации символов, влияющие на значение или на порядок операндов. Исходя из идентификации операторов и операндов, можно определить ряд измеримых категорий, обязательно присутствующих в любой версии любого алгоритма. Они определяются метриками, с помощью которых могут быть получены основные характеристики качества программ.

В состав измеримых свойств любого представления алгоритма (или программы) могут быть включены следующие метрические характеристики:

· h₁ - число простых (уникальных) операторов, появляющихся в данной реализации;

· h₂ - число простых (уникальных) операндов, появляющихся в данной реализации;

· N₁ - общее число всех операторов, появляющихся в данной реализации;

· N₂- общее число всех операндов, появляющихся в данной реализации;

· f_1j - число вхождений j-го оператора, где j = 1,2,3 ... h₁;

· f_2j - число вхождений j-го операнда, где j = 1,2,3 ... h₂.

Отправляясь от этих основных метрических характеристик для программы, удобно определить:

словарь h h = h₁ + h₂

и длину N N = N₁ + N₂

реализации программы.

В соответствии с данными определениями должны выполняться следующие три соотношения

Рассмотрим пример вычисления введенных метрик для программы, реализующей широко известный алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Возможные варианты программы на языках Паскаль и Си приведены в таблице 1.

Таблица 1

Результаты подсчета числа типов операторов и операндов и их общего количества сведены в таблицу 2 для программы на Паскале и в таблицу 3 для программы на Си. При подсчете использовались следующие соображения.

В отношении классификации операторов интуитивно ясно, что символы :

:=- знак присваивания;

=- знак равенства (или знак присваивания в программе на Си);

--- знак вычитания;

/ -знак деления;

* - знак умножения

соответствуют их обычному определению.

Пара, состоящая из открывающих и закрывающих скобок ( ), { } классифицируется как один оператор группировки. Поскольку пара слов Begin ... End выполняет такую же группирующую функцию, она классифицируется как такой же оператор. Метки L1 и L2 - не переменные и не константы, поэтому они не являются операндами. Следовательно, они должны быть операторами или их составными частями. Комбинация GO TOи метки L1 определяет ход выполнения программы путем задания для нее счетчика или указателя кода; эта комбинация классифицируется как один оператор. Неиспользуемая метка трактуется всего лишь как комментарий, поэтому ее присутствие в программе необязательно. Ограничитель ;(точка с запятой) также определяет ход выполнения программы (простым продвижением счетчика), что позволяет классифицировать точку с запятой как оператор. По той же причине все управляющие структуры, например IF, IF ... THEN ... ELSE, DO ... WHILE,классифицируются как операторы. Указатель вызова функции или оператор процедуры также являются операторами. Помимо того, возможность задания помеченных участков и введение новых функций устраняют какие-либо ограничения на рост величины h₁ (числа типов операторов), которые в противном случае могли бы быть наложены набором команд машины или разработкой языка.

Таблица 2

Соответственно, измеримые метрики программы на Паскале будут равны

η₁ = 12; N₁ = 40; η₂ = 6; N₂ = 21; η = 18; N = N₁ + N₂ = 61; 58,53

Таблица 3

Соответственно, измеримые метрики программы на Си будут равны

η₁ = 11; N₁ = 37; η₂ = 6; N₂ = 18; η = 17; N = N₁ + N₂ = 55; 53,56

Длина программы

С использованием рассмотренных программных параметров можно получить уравнение для оценки количественного соотношения между длиной программыN и словарем h. Это уравнение на первый взгляд может показаться несколько неожиданным. Однако тщательный анализ доказывает его правомерность, кроме этого его правильность подтверждается экспериментально.

Строка длины N, образуемая символами, входящими в словарь из hсимволов, должна подчиняться ряду ограничений. Требование, согласно которому каждый символ словаря должен появиться по меньшей мере хотя бы один раз, гарантирует выполнение условия

h £ N,

что определяет нижнюю границу для N, выраженную черезh.

Найдем верхнюю границу для N. Разобьем строку длины N на подстроки длины h. Разделенная таким образом программа для ЭВМ оказывается состоящей из N/h операторов длины h каждый. Теперь если мы потребуем, чтобы строка не содержала двух одинаковых подстрок длины h, то появится искомая верхняя граница.

Требование отсутствия дубликатов подстрок длины h является весьма обоснованным в программах для ЭВМ, в которых экономия выражений приводит к тому, что общему подвыражению дается отдельное имя, поэтому его надо вычислять только один раз. Следовательно, если общее подвыражение длины h необходимо программе более одного раза, присваивание его отдельному операнду увеличит h (число типов операторов) на единицу.

Число возможных комбинаций из h элементов взятых по h за раз, хорошо известно из школьного курса математики и составляет

N £ h^h+1

Если учесть, что операторы и операнды, как правило, чередуются, то можно получить другое соотношение

N £ h´h₁^h1´h₂^h2

Верхняя граница для этого неравенства должна включать не только упорядоченное множество из N элементов, представляющих исследуемую программу, но и его всевозможные подмножества. Семейство всевозможных подмножеств из N элементов содержит 2^N элементов. Следовательно, мы можем приравнять число возможных комбинаций из операторов и операндов (равное числу подстрок N/h) числу подмножеств из N элементов и выразить длину реализации алгоритма через его словарь. Из уравнения

2^N = h₁^h1´h₂^h2

получаем

N = log₂ (h₁^h1´h₂^h2)

или

N = log₂ h₁^h1 + log₂ h₂^h2

Это дает нам уравнение оценки длины

h₁ log₂h₁ + h₂ log₂h₂ (2.1)

В этом выражении символ N снабдили Ù для того, чтобы отличать вычисленную (теоретическую) оценку длины от значения N полученного в результате непосредственного измерения (опытной длины). Эта оценка соответствует основным концепциям теории информации, по которым частота использования операторов и операндов в программе пропорциональна двоичному логарифму количества их типов. Выражение (2.1) представляет собой идеализированную аппроксимацию измеренной длины N=N₁+N₂ , справедливую для программ, не содержащих несовершенств (стилистических ошибок) [1]. Экспериментальные исследования ряда авторов на представительной группе программ показали, что для стилистически корректных программ отклонения в оценке их теоретической длины от опытной не превышают (10-15)% .