Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)
Пусть в стране работает n отраслей народного хозяйства(n Î N): S1, S2, ..., Si, ..., Sn.
Продукция каждой отрасли используется тремя способами:
- внутри самой отрасли,
- в других отраслях,
- как конечный продукт, направляемый на продажу внутри и вне страны.
Пусть известны также затраты отрасли Si, потребные отрасли Sj для выпуска одной единицы своей продукции, и пусть они равны aij, (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Это значит, что задана квадратная матрица n-го порядка (An x n), которую называют матрицей прямых затрат:
.
Основную задачу межотраслевого баланса (модель Леонтьева) можно сформулировать следующим образом.
Требуется определить необходимый объем выпуска продукции каждой отрасли так, чтобы обеспечить в каждой отрасли запланированный объем выпуска конечного продукта.
Если bi - запланированный объем выпуска конечного продукта в отрасли Si, то весь конечный продукт можно задать
вектором Вnx1, который называют вектором конечного продукта по отраслям: .
Пусть xi - искомый объем выпуска отрасли Si, тогда объем выпуска по отраслям можно задать вектором валового выпуска
по отраслям: .
В этих обозначениях задача имеет вид :
.
Уравнение называют моделью Леонтьева.
Ясно, что все матрицы в модели Леонтьева имеют только неотрицательные элементы.
Матричное уравнение (*) можно записать также в виде системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матрица этой системы Q = E - A. Если матрица S - невырожденная, то система (*) имеет единственное решение:
.
Матрицу Q-1 называют матрицей полных затрат.Каждый j-й столбец этой матрицы показывает затраты на производство единицы конечного продукта соответствующей отрасли.
Модель Леонтьева (*) и матрицу ее прямых затрат (А) называют продуктивными, если для любого вектора конечных продуктов найдется вектор необходимого выпуска продукции по отраслям .
Критерии продуктивности:
Пример.
Допустим, что имеются всего две отрасли народного хозяйства (n=2) : энергетика и машиностроение. Энергетика запланировала валовый выпуск конечного продукта на сумму 144 млн рублей, а машиностроение - на сумму 123 млн рублей. Каждый млн. рублей валового выпуска конечной продукции энергетической отрасли требует 0,07 млн. рублей затрат валового выпуска своей отрасли и 0,12 млн. рублей затрат валового выпуска отрасли машиностроения. Каждый млн. рублей валового выпуска конечной продукции отрасли машиностроения требует 0,14 млн. рублей и 0,10 млн. рублей от энергетики и машиностроения. Требуется определить валовый выпуск продукции по отраслям, обеспечивающий запланированный валовый выпуск готового продукта. Из условий задачи следует, что вектор конечного продукта , матрица прямых затрат , единичная матрица , искомый вектор валового выпуска по отраслям .
Критерии продуктивности выполняются, следовательно, для решения этой задачи можно использовать модель Леонтьева : .
В условиях решаемой задачи получим:
.
Ответ: При данной матрице прямых затрат валовый выпуск конечного продукта в энергетике в объеме 144 млн. рублей, а в машиностроении в объеме 123 млн. рублей можно обеспечить, если общий валовый выпуск в энергетике будет 179 млн. рублей, а в машиностроении - 160,5 млн. рублей
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 2147;