Которого являются частные производные этой функции, вычисленные в этой точке.
.
Зададим вектор следующим образом: .
Выберем в области D произвольную так, чтобы выполнялось условие: .
Если - переменные, то точка М будет перемещаться по области в данном направлении .
М
М0
О
Из заданных условий следует:
.
Полное приращение функции , где - бесконечно малые более высокого порядка малости, чем .
Пусть .
Скорость изменения функции при движении точки от в данном направлении измеряется с помощью специальной производной, которую называют “производная по направлению”.
9.2. Производной по направлению данной функции в данном направлении , вычисленнойв данной точке будем назывть предел отношения полного приращения функции к вызвавшему его приращению вектора-направления , при условии, что последнее стремится к нулю, а также при условии, что такой предел существует и конечен.
.
.
9.3. Наискорейшее возрастание функции происходит при движении от данной точки в направлении градиента.
, поэтому принимает максимальное значение, когда .
9.4. Градиент функции в данной перпендикулярен к касательной линии уровня в этой точке.
Линия уровня или кривая безразличия это множество всех точек в области определения функции в которых функция принимает одно и то же значение z0.
Пусть , тогда уравнение линии уровня, прохоящей через эту точку.
Продифференцируем последнее равенство по х, тогда получим: , следовательно угловой коэффициент касательной к линии уровня в можно вычислить по формуле Направляющие косинусы вектора равны соответственно
, следовательно .
касательной.
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 822;