Рассмотрим несколько примеров.

1.Для передачи сообщений используется простой код.

Наименьшее расстояние между словами кода называется кодовым расстоянием d_min.

Для данного кода расстояние Хэмминга d=1 или 2, а d_min=1.

Любая одиночная или двойная ошибка приводит к замене одного разрешенного кодового слова другим, и факт ошибки в приемнике обнаружить невозможно.

2.Для передачи сообщений используется код:

Действие ошибок большей кратности на данный код выражается в следующем:

· Код не обнаруживает двойные ошибки, любая двойная ошибка переводит одно разрешенное кодовое слово в другое.

· Код обнаруживает тройную ошибку e=(111), так как она всегда приводит к появлению запрещенного слова.

Итак, для обнаружения ошибок в код должна быть внесена избыточность, то есть длина кодового слова должна быть больше минимально необходимой.

Способность кода обнаруживать ошибкив общем случае определяется следующим образом:

· Если кодовые слова отличаются друг от друга не менее чем на d_min>=2 символов, то все ошибки веса t<=d_min-1 будут обнаружены.

· Ошибки веса равного или больше d_min обнаруживаются частично, то есть одни ошибки обнаруживаются, а другие – нет.

Рассмотрим код, который позволяет не только обнаружить, но и исправить ошибки.

3.Построим код, который может исправить одиночную ошибку t=1. Чтобы код мог исправлять одиночные ошибки, то есть определять какое кодовое слово было передано в действительности, разрешенные слова должны отличаться по крайней мере в трех символах d>=3, d_min=3.

В этом случае одиночная ошибка переведет переданное слово в одно из запрещенных и, следовательно, будет обнаружена. Полученное запрещенное слово отличается от переданного только одним символом, а от остальных разрешенных слов не менее, чем в двух символах. То есть принятое слово ближе к переданному и менее похоже на остальные разрешенные слова. Это позволяет нам выбрать среди разрешенных слов действительно переданное, а значит исправить ошибку.

Пусть передавалось слово 00000. Было принято слово 01000. Оно является запрещенным, значит ошибка обнаружена. Чтобы определить, какое из слов было передано, приемник сравнивает принятое слово со всеми разрешенными. Из четырех разрешенных слов ближе всего к принятому 00000. Ошибка исправлена.

Способность кода исправлять ошибки в общем случае определяется следующим образом:

· Если код имеет кодовое расстояние d_min>=3, и используется декодирование с исправлением ошибок по ближайшему разрешенному слову, то все ошибки веса t<d_min/2 исправляются.

· Ошибки большего веса могут исправляться частично.

Формулы, которые выражают связь между кодовым расстоянием и весом ошибок, которые обнаруживаются или исправляются, обычно записываются в виде

d_min>=t_обн+1

d_min>=2t_испр+1