Глава 1. Определение производной. Правила дифференцирования.

Пусть задана некоторая функция y = f (x). Выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х их₁. Вычислим значения функции f(x) и f(x₁). Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента Dх = х₁ – х, (т.е х₁ = х +Dх).

Замечание. Dхможет быть как больше нуля, если х₁ > х,так именьше нуля, если х₁ < х.

Приращением функции Df (x) называется разность между двумя соответствующими значениями функции Df(x) = f(x₁) - f(x) или Df(x) = f(х + Dx) – f(x).

Если при Dх® 0 существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция f(x) называется дифференцируемой в точкех, а значение предела называется производной от функцииf(x) в точке х и обозначается

(1.1)

Производная - это функция от того же аргумента, что и f(x). Операцию вычисления производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f(x), отметить точки х и х₁ = х + Dх , то МС = Dх, NC = Df(x). Величина отношения

(1.2)

равна тангенсу угла наклона секущей MN к оси абсцисс (см. рис.1.1).

Если Dх ® 0, то точка N стремится по графику функции к точке M, секущая MN стремится занять положение касательной МК к графику функции f(x) в точке M, угол наклона секущей α стремится к углу наклона касательной φ. Сравнивая формулы (1.1) и (1.2) мы можем сказать, что значение производной f ¢(x) в точке х равно тангенсу угла наклона касательной к графику y = f(x) в точке М с координатами (х, f(x)).

Уравнение касательной в точке М

,

уравнение нормали

,

В механике производная от пути по времени есть скорость