З рисунка видно, що

де - тілесний кут.

Площа поверхні кулі (тут є тілесним кутом).

Таким чином одержуємо:

. (6.3.8)

Інтегруємо цей вираз у межах замкнутої поверхні і повного тілесного кута для цієї поверхні, тобто

.

Одержаний вираз носить назву теореми Гаусса

. (6.3.9)

Якщо замкнута поверхня охоплює систему зарядів, теорема Гаусса набуде вигляду

. (6.3.10)

Потік вектора напруженості електричного поля крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі всіх зарядів у середині цієї поверхні, поділених на ee₀.

Покажемо на прикладах, як використовується теорема Гаусса у найпростіших випадках.

Приклад 1. Електричне поле біля безмежної, рівномірно зарядженої, із поверхневою густиною зарядів σ, площини ( рис. 6.10).

Рис. 6.10

На рисунку заряджена площина спроектована перпендикулярно до площини листка. Замкнена поверхня є циліндром із площею торців S. Потік вектора напруженості в даному випадку слід розрахувати лише крізь торці. Лінії напруженості електричного поля паралельні до бокової поверхні, а тому потоку не створюють, тобто

. (6.3.11)

За теоремою Гаусса

. (6.3.12)

Прирівнявши праві сторони (6.3.11) і (6.3.12) одержимо:

.

Цей висновок збігається з формулою (6.3.3).

Приклад 2. Електричне поле на відстані a від довгої, рівномірно зарядженої з лінійною густиною зарядів τ, нитки (рис. 6.11).

Рис. 6.11

На рисунку замкнуту поверхню вибрано у вигляді циліндра радіусом а і довжиною h. Потік силових ліній слід розглядати лише крізь бокову поверхню, так як торці перпендикулярні до нитки й паралельні до напрямку силових ліній електричного поля. (Потік крізь торці в цьому випадку дорівнює нулю).

. (6.3.13)