Тема. Застосування похідної до побудови графіків функцій
План
- Схема дослідження функції для побудови її графіка.
| Схема | Приклад
Побудуйте графік функції  .
| |||
| 1. Знайти область визначення функції. | 1. Область визначення: D(f) = 
| |||
| 2. З’ясувати, чи є функція парною або непарною (чи періодичною). | 2. Функція f(х)ні парна, ні непарна, оскільки  і  , і не періодична.
| |||
| 3. Знайти точки перетину графіка з осями координат (якщо їх можна знайти). | 3. На осі Оу значення х = 0, тоді у = 0.
На осі Ох значення у = 0:  ,х2 – 5х = 0, х(х - 5) = 0.
Тоді х = 0, х = 5 – абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.
| |||
| 4. Знайти похідну і критичні точки функції. | 4.  .
Похідна існує на всій області визначення функції f(х). Отже, функція f(х)неперервна в кожній точці своєї області визначення.
 .
При  маємо х2 + 8х – 20 = 0, х1 = 2, х2 = -10 – критичні точки.
| |||
| 5. Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму (і значення функції в цих точках). | 5. Позначимо критичні точки на області визначення і знайдемо знак похідної та характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення (див. рисунок).
Отже, функція зростає на кожному з проміжків
| |||
| 6. Визначити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення і знайти асимптоти графіка функції (вертикальні, горизонтальні і похилі). |  6.
При  зліва  , а при справа  (тобто  ,  ). Отже, пряма х = - 4 – вертикальна асимптота.
Оскільки
 , то при 
 , тоді  , тобто пряма у = х – 9 – похила асимптота.
| |||
| 7. Знайти другу похідну і дослідити функцію на опуклість і точки перегину (і значення функції в цих точках). | 7.  .
Оскільки  , то знак другої похідної може змінитися лише в точці х = -4. Одержуємо такі знаки другої похідної і відповідний характер опуклості (див. рисунок).
| |||
| 8. Знайти координати додаткових точок графіка функції (якщо необхідно уточнити його поведінку). | 
| |||
| 9. На основі проведеного дослідження побудувати графік функції. | 
|
та 
і спадає на проміжках 
та 
. Оскільки в критичній точці (- 10) похідна змінює знак з «+» на «-», то х = - 10 – точка максимуму, а в критичній точці 2 похідна змінює знак з «-» на «+», тому х = 2 – точка мінімуму. Отже,
, тоді 
;
, тоді 
.
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 927;