Ортодромия локсодромия

Используя навигационные морские карты, судоводители прокладывают на них путь в виде прямой линии. Из условия построения карты, такой прямой путь на карте не будет кратчайшим на местности. Путь (прямая), проложенный на карте в Меркаторской проекции называется локсодромией (кривой бег). Кратчайший же путь между двумя точками на земной поверхности эллипсоида является сложной кривой, называемой геодезической линией. На поверхности сферы (шара) кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется по дуге большого круга, т.е. круга, образованного пересечением плоскости, проходящей через центр сферы и заданные точки, со сферической поверхностью. Такая дуга в навигации называется ортодромией (Рис.1.6). Уравнение ортодромии, проходящей через заданные точки, имеет вид:

CtgA₁ = tgj₂ Cosj₁CosecDl - Sinj₁ CtgDl (11), где:

А₁ – направление ортодромии в точке В₁,

Dl - разность долгот точек В₂ и В₁.

При анализе уравнения ортодромии можно сделать следующие выводы:

1. при расположении точек В₁ и В₂ на одном меридиане ортодромия совпадает с меридианом этих точек.

2. ортодромия пересекает меридианы под разными углами (А₀ , А₁ , А₂),

3. при расположении точек по экватору ортодромия совпадает с экватором.

Рис1.6

С появлением на море магнитных компасов стало удобным плавать на линии постоянного курса, что стимулировало геометрические исследования в этой области. Кривую на поверхности Земли, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом называют, как уже говорилось локсодромией. Эта кривая в математике известна как логарифмическая спираль, на навигационной карте она прямая линия, пересекающая меридианы под одним и тем же углом.

Разность углов, под которыми ортодромия пересекает меридианы двух точек, называется сближением (схождением) меридианов. γ = А₂ – А₁.

Угол схождения меридианов рассчитывается по приближенной формуле:

γ = 2arc tg [tg( ) Sin j_ср] (1.14)

Основные свойства локсодромии:

Если курс равен 180 или 360, то локсодромия совпадает с меридианом и ортодромией (см 1.6) К=0. tgK = 0. l₂ - l₁ = 0. . l₂ = l₁ )
Если курс равен 90 или 270, то локсодромия совпадает с параллелью или экватором, т.е. образует малый или большой круг на поверхности Земли.
При любых других курсах локсодромия спиралеобразно стремится к полюсу, никогда его не достигая.

Из треугольника ОАС (Рис.1.7) определяем отношение радиусов экватора (R) и параллели (r). r = R Cosj. Отсюда длина любой параллели будет равна 2pr = 2pRCos j. Отрезок параллели между двумя какими-либо меридианами равен отрезку экватора между теми же меридианами, умножен-

Принимая Землю за шар, можно определить отношение длины экватора и параллели в какой - либо произвольной широте j.

Рис. 1.7

ному на косинус широты этой параллели.

Возьмем на локсодромии две точки М₁(j₁, l₁) и М₂(j₂, l₂) (Рис. 1.8a), находящиеся на малом расстоянии одна от другой (dS). Из элементарного треугольника М₁ М₂ С (Рис.18.b) имеем: