Основные условия устойчивости

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.6.9).

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y_вын(t) + y_св(t),

где - y_св(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:

a_oy_(n) + a₁y_(n-1) + ... + a_(n-1)y' + a_(n)y = 0;

где - y_вын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.

Рисунок 6.9 – Колебание пружины.

Для общего решения неоднородного дифференциального уравнения y_св(t), когда все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения.

Для частного решения неоднородного дифференциального уравнения y_вын(t) к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей с начальным положением У₀ и конечным У , рис. 6.9.

y_вын = ,

Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P_osin(ωt +φ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y_вын = y_maxsin(ωt + φ).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно.

Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t.

Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих:

,

где p_i корни характеристического уравнения

D(p) = a₀p_n + a₁p_n-1 + a₂p_n-2 + ... + a_n = 0.

Корни могут быть либо вещественными p_i = α_i, либо попарно комплексно сопряженными p_i = α_i ± jω_i. Постоянные интегрирования А_i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t → ∞.

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y_св(t)_i, каждому положительному – экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y_св(t)_i = const (рис.6.10.).

Рисунок 6.10 – Соответствие корней характеристического уровня и изменение y_св(t) свободной составляющей.

Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой ω_i (рис. 6.11а), при положительной вещественной части (6.11б) - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.6.11в).

Так как после снятия возмущения y_вын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y_св(t). Поэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Рисунок 6.11 – Характер колебаний при комплексно сопряженных корнях.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.6.12.).

Рисунок 6.12 – Расположение корней характеристического уравнения.

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми.

Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где α_n = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости.

Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

Если система представлена в виде передаточной функции, то для анализа устойчивости используется ее собственный оператор (знаме­натель передаточной фикции).

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости.

Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой.

Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработан ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчи­вости.

Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют оценить влияние параметров системы на ее устой­чивость.

Необходимое условие устойчивости.

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a₀p_n + a₁p_n-1 + a₂p_n-2 + ... + a_n = a₀ (p – p₁) (p – p₂ )…(p - p_n ) = 0,

где p₁, p₂, ..., p_n - корни этого уравнения.

Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как α_i = -|α_i| < 0. Подставим их в уравнение:

a₀ (p+ |α₁|- jω₁) (p + |α₂| - jω₂ ) |) (p + |α₃| + jω₃)… = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов α_i не будет отрицательным.

Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: α_i > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где α₀ > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходимым, но недостаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке - с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле:

c_k,i = c_{k+ 1,i - 2} - r_i c_{k + 1,i - 1},

где r_i = c_{1,i - 2}/c_{1,i - 1},

i 3 - номер строки,

k - номер столбца.

4) число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c₁₁, c₁₂, c₁₃,... были положительными.

Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.

Достоинство данного критерия в том, что он прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, насколько далеко отстоит она от границы устойчивости.

Критерий Гурвица. Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица

по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица:

для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны.

Эти миноры называются определителями Гурвица. Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики:

a₀p + a₁ = 0.

Определитель Гурвица: ₁ = a₁ > 0 при a₀ > 0,

то есть условие устойчивости:a₀ > 0, a₁ > 0;

2)n = 2 => уравнение динамики:

a₀p² + a₁p + a₂ = 0.

Определители Гурвица:

₁ = a₁ > 0, ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = a₁a₂ > 0,

так как a₃ = 0, то есть условие устойчивости:

a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3 => уравнение динамики:

a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0.

Определители Гурвица:

₁ = a₁ > 0, ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ > 0, ₃ = a_{3 2} > 0,

условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0, a₁a₂ - a₀a₃ > 0.

Таким образом, при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость.

Так равенство нулю главного определителя _n = a_{n n-1} = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a_n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор _n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости.

Контрольные вопросы к главе 6.

1. Что понимают под устойчивостью САУ в малом и в большом?

2. Какой вид имеет решение уравнения динамики САУ?

3. Как найти вынужденную составляющую решения уравнения динамики САУ?

4. Какой вид имеет свободная составляющая решения уравнения динамики САУ?

5. Что такое характеристическое уравнение?

6. Какой вид имеют корни характеристического уравнения?

7. Чем отличаются правые и левые корни характеристического уравнения?

8. Сформулируйте условие устойчивости систем по Ляпунову.

9. Что такое граница устойчивости?

10. Что такое критерии устойчивости?

11. Сформулируйте необходимое условие устойчивости САУ.

12. Сформулируйте критерий Рауса.

13. Сформулируйте критерий Гурвица.

14. В чем достоинства и недостатки алгебраических критериев устойчивости?