Распределение Стьюдента.

Пусть Х₁,Х₂,…,Х_n нормально распределенные случайные величины, m=0, σ=1.

Тогда СВ – соотношение Стьюдента. А ее распределение – распределение Стьюдента с ν=n степенями свободы.

Замечание.СВ Т часто записывают где .
График плотности:

Внешне напоминает график плотности нормального стандартного распределения. При больших ν график центрирован нормальной кривой (т.е. m=0, σ=1). Составлена таблица . Построим график: S1+S2=α (α-заданный ) уровень вероятности, - квантили распределения Стьюдента.
41. Доверительный интервал для мат. ожидания нормально распределенной С.В.( -неизвестно)

Опр.Доверительным интервалом для параметра наз-ся интервал (обозн. , ),содержащий (накрывающий) истинное значение неизвестного параметра с заданной вероятностью p=1-

Опр: Число 1- наз-ся доверительной вероятностью.

Постановка задачи: Пусть наблюдается нормальное распределение С.В. Х.произведена выборка обьема n.Требуется найти доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью 1- для мат. ожидания m С.В. Х

Для этого найдем такое >0 ,что P( )= 1- (**)

Ищем ,чтоб вып-ось это равенство

P( )= 1- (**)

1)Пусть неизвестна,т.е. .В силу Теоремы2 из пункта распределение Стьюдента С.В.

,где -выбор среднего квадратичного отклонения имеет распределение Стьюдента с степенями свободы

Т.к. = следовательно =

-распределение по Стьюденту с степенями свободы

<

Ищем чтобы: P( )= 1-

P( )= 1-

P( )=

По таблице находим такое значение что P( )= ,Тогда следовательно

Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид

( )

40. Доверительный интервал для мат. ожидания нормально распределенной С.В.( -известно)

Опр.Доверительным интервалом для параметра наз-ся интервал (обозн. , ),содержащий (накрывающий) истинное значение неизвестного параметра с заданной вероятностью p=1-

Опр: Число 1- наз-ся доверительной вероятностью.

Постановка задачи: Пусть наблюдается нормальное распределение С.В. Х.произведена выборка обьема n.Требуется найти доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью 1- для мат. ожидания m С.В. Х

1)Пусть известно,т.е. . распределена нормально с параметрами m и

Тогда * с параметрами 0 и 1.

P( )= 1-α

P( )=2 ( )

-Находим по таблице

следовательно

Т.О. искомый доверительный интервал имеет вид:

( )

Замечание: U из формул и следует что с увеличением n точность оценки возрастает.