А —куб; б— тетрагональная дипирамида

к изображению плоскости симметрии на проекции. Как видно на рис. 35, плоскость симметрии изображается двумя параллельными линиями. В том случае если плос­кости симметрии перпендикулярны к плоскости чертежа, они рисуются двумя параллельными прямыми, проходя­щими через центр проекции. Если плоскости наклонны или горизонтальны, они изображаются двумя параллель­ными дугами (рис. 36).

Поскольку на проекции будут изображены как грани, так и элементы симметрии кристалла, а точки проекций могут совпасть, не следует значки элементов симметрии рисовать мелкими или затушевывать их середину. На­пример, проекции верхней и нижней граней куба, изо­бражаемые соответственно кружочком и крестиком, сов­падают с осью симметрии четвертого порядка, изобра­жаемой квадратиком. На проекции это изобразится квадратиком с нарисованными внутри него кружочком и крестиком (рис. 36, а). Проекции боковых граней так-

же совпадают с осями четвертого порядка и изобража­ются кружочками, расположенными внутри квадратиков (рис. 36, а).

При проектировании элементов симметрии кристал­лов следует иметь в виду, что вертикальные и наклон­ные оси изображаются одним значком, горизонталь­ные— двумя значками, симметрично расположенными на противоположных сторонах диаметра. Так, на рис. 36, а одна ось четвертого порядка, расположенная вертикально к плоскости чертежа, показана одним квад­ратиком (в центре), то же можно сказать и об оси чет­вертого порядка на рис. 36, б; четыре оси третьего по­рядка па левом рисунке расположены наклонно, следо­вательно, они изображены четырьмя треугольниками. На рис. 36, б 4 осп второго порядка расположены гори­зонтально, поэтому каждая ось обозначена двумя эллипсами.

При составлении стереографической проекции кри­сталла важно правильно расположить ею внутри сферы. Об этом подробно будет сказано в конце данной главы. Здесь кратко скажем о наиболее удобном расположении кристаллов различных сингоний внутри шара при состав­лении стереографических проекций.

Кристаллы кубической сингоний располагают так, чтобы перпендикулярно плоскости чертежа находилась одна из осей четвертого порядка, при отсутствии тако­вых (например, в 28 виде симметрии кристаллов, см. табл. 1) такое же положение должна занять ось второго порядка.

При проектировании кристаллов средней категории перпендикулярно плоскости чертежа устанавливается ось шестого порядка (гексагональная сингопия), ось четвертого порядка (тетрагональная сингопия) или ось третьего порядка (тригональная сингопия).

В кристаллах ромбической сингоний ось второго по­рядка также располагается перпендикулярно плоскости чертежа, в моноклинной сингоний — ось второю поряд­ка устанавливается параллельно плоскости чертежа, а плоскость симметрии — перпендикулярно к ней. В триклинпой сингонии, где нет осей и плоскостей симметрии, установка кристалла более пли менее произвольна. Ре­комендуется для удобства проектирования возможно большее количество граней кристалла устанавливать вертикально.

Решение кристаллографических задач с помощью сетки Г. В. Вульфа

Методы построения простейших стереографических проекций кристаллов не претендуют на высокую точ­ность, а преследуют цель наглядного условного отобра­жения элементов симметрии и граней кристаллов.

В ряде случаев для изображения кристаллов и реше­ния кристаллографических задач требуются более точные

построения. Для этих целей используются специальные стереографические сетки.

Рассмотрим устройство стереографической сетки и познакомимся с методикой решения задач с помощью одной из таких сеток, назы­ваемой сеткой Г. В. Вульфа. Мри гониометрическом из­мерении кристалла получа­ют для каждой грани две сферические координаты: Рис. 37. Измерение сфериче- ф —долготу и р —полярное схих координат точки в|: расстояние, дающие точное

Долгота может иметь значение от 0 до 360°, полярное расстояние — от 0 до 180°.

Представление о точном расположении точек можно дать, используя метод, аналогичный применяемому в географии н астрономии. Там, как нам известно, поло­жение любой точки определяется на глобусе и фиксиру­ется двумя координатами —долготой и широтой. Поверх­ность глобуса покрыта сетью линий -параллелей и ме­ридианов, которые позволяют находить положение точки.

Таким же способом в кристаллографии определяются координаты точек. На поверхность шара наносится сеть вспомогательных параллелей и меридианов. Исполь­зуя градусную сетку, получают две координаты точки, нанесенной на сфере. Одна из координат, обозначаемая греческой буквой ф, отвечает географической долготе, отсчитываемой от выбранного нулевого меридиана. Ины­ми словами, долготу определяет угол между плоскостью пулевого меридиана н плоскостью меридиана, проходя­щего через заданную точку (рис. 37). Вторая координа­та в кристаллографии называется полярным расстоя­нием (р) и в отличие от географической широты отечн-тывается от полюса (рис

37). Полярное расстояние измеряется углом между полюсом шара и данной точкой,

Рис. 38. Стереографическая сетка Г. В. Вульфа

 

т. е. р является относительно географической шпроты дополнительным углом до 90°.

При гониометрическом измерении кристалла долгота отсчитывастся по вертикальному кругу гониометра, по­лярное расстояние — но горизонтальному лимбу.

Наиболее широкое применение в кристаллографии получила стереографическая сетка Г. В. Вульфа. Сетка

 

Г. В. Вульфа представляет собой проекцию дуг меридиа­нов и параллелей на плоскость меридиана. Точка зрения помещается на экваторе и на сетке совмещается с цент­ром проекций. Стереографическая сетка имеет диаметр 20 см и цену деления 2°. Каждый десятый градус для удобства отсчета выделяется жирной линией (рис. 38).

Для решения кристаллографических задач с помо­щью сетки Г. В. Вульфа используют лист кальки, соот­ветствующий формату сетки. Лист кальки накладывают на сетку Вульфа и в центре ее наносят точку и четыре

  0°р \о°<р
   

Рис. 39. Лист кальки, под­готовленный к работе с сет­кой Вульфа:

стрелкой показано направление отсчета долготы; через кальку проснечиваюг круг проекции и диаметры" сетки

черточки в виде креста. Черточки не доходят до точ­ки и не пересекаются. Чер­точки проводят по горизон­тальному и вертикальному диаметрам сетки и при на­чале работы с сеткой совме­щают их с диаметрами, а точку — с центром проек­ций. С правой стороны каль­ки за концом горизонталь­ного диаметра сетки прово­дят на кальке черточку за кругом проекций (рис. 39). Данная черточка будет в дальнейшем соответствовать нулевому значению долготы и даст начало отсчету се в направлении по часовой стрелке по кругу в интервале от 0 до 360°. Центральная точка кальки соответствует 0°р. Полярное расстояние отсчитывастся от этой точки по любому концу диаметра в направлении большого круга проекций, где р=90°, и обратно в направлении централь­ной точки, если полярное расстояние более 90° (до 180°). Таким образом, любая точка, расположенная на боль­шом круге проекций, будет иметь р = 90°. Если точка расположена в центре кальки, то полярное расстояние может быть равно пулю или 180э.

Следует иметь в виду, что при решении задач все построения производятся только на кальке. Перед нача­лом работы на кальке наносят вышеуказанные обозна­чения, а также отмечают 0°р вблизи центра и 0°ф рядом с пулевой риской.

Приведем примеры решения некоторых кристаллогра­фических задач с помощью сетки Вульфа .

Задача 1. Построить стереографическую проекцию направления, заданного координатами <(; и р.

Дано некоторое направление .4 со сферическими координатами: ф= 165° и (>08".

Требуется найти стереографическую проекцию этого на­правлении. Задача решается следующим образом:

1. Рис. 40. Построение стереогра­фической проекции направле­ния А с координатами: <р 165°, р=68°

1)

1) Накладывают кальку на сетку Вульфа, совмещают центр кальки с центром сетки, а пулевую риску (0° ср) — с правым концом горизонтального диаметра сет­ки Вульфа.

1. От нулевой риски отсчи­тывают но часовой стрелке но кругу проекций 165° н отмеча­ют вспомогательной черточкой-риской (рис. -10).

2. Вращением кальки сов­мещают найденную риску с концом ближайшего диаметра сетки (центр кальки придержи­вают остро заточенным каран­дашом в совмещенном положе­нии с центром сетки).

3. По данному диаметру от центра сетки в сторону вспо­могательной черточки отсчиты­вают полирное расстояние — 68" и отмечают найденную точ­ку кружочком.

4. Возвращают кальку в исходное положение и обозна­чают кружочек буквой а. Пай-денная точка является стереографической проекцией направления Л.

Такое построение используют при нанесении стереографической проекции нормали к грани, или, как говорят, гномостереографиче-ской проекции грани. Аналогичный метод применяется при построе­нии ребра или оси симметрии кристалла. В случае если полярное расстояние какого-либо направления больше 90", стереографическая проекция будет расположена в нижней полусфере. Отсчет полярного расстояния, как отмечалось, будет производиться от центра проек­ций в направлении круга и обратно от круга к центру. Такая про­екция обозначается крестиком (рис. 40, точка Ь с координатами: ф=205°, р-124').

Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты на­правлении, заданного стереографической проекцией.

Решение: 1. Вращением кальки совмещают заданную точку (стереографическую проекцию направлении) с ближайшим диамет­ром сетки. От центра сетки по данному диаметру отсчитывают в на­правлении точки сферическую координату р. Вспомогательнойчерточкой на круге проекций отмечают в данном положении конец диаметра, на котором лежит определяемая точка._ 2. Возорашают кальку в исходное положение и по кругу проек­ции от нулевой риски до вспомогательной черточки отсчитывают долготу ф. Таким образом, для точки с определены сферические координаты: q>=309°, р=55* (рис. 40). Задача 3. Провеет дугу большого круга через заданные сте­реографические проекции двух направлений.

Допустим, что требуется про­вести дугу большою круга через стереографические проекции о и с направлений А (105°, 68") и С (309е, 55").

Решение: 1. Вращением кальки совмещают обе точки а и с с одним на вспомогательных ме­ридианов сетки.

2. Простым карандашом обво­дят меридиональную дугу, соеди­няющую точки а и с, и возвраща­ют кальку в исходное положение (рис. 41).'

В том случае если точки будут
Рис. 41. К решению задач располагаться на разных иолусфе-
3, 4, 5, 6, 7 pax (например, а н Ь па рис. 40),

вращением кальки приводят их на симметрично расположенные по отношению к центру сетки меридио­нальные дуги н обводят их простым карандашом: через точку а — сплошной линией, через точку 0 - пунктирной.

Найденная дуга большого круга может изображать гномостерео-графическую проекцию ребра, лежащего на пересечении двух гра­ней (в этом случае заданные точки являются гномостереографнче-скими проекциями этих гранен), или стереографическую проекцию грани, если точки — стереографические проекции ребер, лежащих в плоскости данной грани.

Задача 4. Измерить угол между двумя направлениями, заданны­ми их стереографическими проекциями (например, угол между на­правлениями /1 и С, см. рис. 41).

Решение: I. Вращением кальки совмещают точки о IIс с од­ной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3).

2. По данной дуге отсчитывают количество градусов, заключен­ных между точками а и с. Получают /10=113".

Измеренный угол может быть углом между нормалями к гра­ням, сели точки а и с представляют собой их гномостерсографиче-ские проекции или углом между ребрами, если данные точки — стереографические проекции ребер.

Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (полюсом дуги является точка, равно­отстоящая от всех точек дуги на 90°).

Предположим, что требуется найти полюс дуги ас. Решение: 1. Вращением кальки совмещают данную дугу с меридиональной дугой сетки Вульфа.

2. Отсчитывают от точки пересечения данной дуги с горизон­тальным диаметром в направлении к центру сетки 90° по диаметру и отмечают найденную точку кружочком.

3. Возвращают кальку в исходное положение п надписывают точку значком Р,,,-.Для найденного полюса можно найти сферические координаты: ф = 62°, р=61° (см. задачу 2). Данный полюс может представлять собой стереографическую проекцию ребра кристалла, если дуга является гномостереографической проекцией этого ребра. Полюс может быть гномостереографической проекцией грани, если данная дута — стереографическая проекция этой грани.

Аналогичным способом находится полюс дуги ей. Сто координа­ты: ф= 194°, р=59°.

Задача 6.(обратная). По заданному полюсу найти дугу боль­шого круга, отвечающую его экватору.

Решение: I. Вращением кальки приводят полюс на горизон­тальный диаметр сетки.

2. От точки в направлении центра сетки отсчитывают 90° и об­водят карандашом соответствующую меридиональную дугу. Послед­няя будет искомым экватором для заданного по.чюса.

Найденная экваториальная дуга может соответствовать стерео­графической проекции грани в том случае, если полюс является гномостереографической проекцией ее. Дуга может соответствовать гномостереографической проекции ребра, если полюс является его стереографической проекцией.

Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов.

Допустим, что требуется определить угол между дугами ас и ас1 (см. рис. 41).

Решение: I. Вращением кальки совмещают точку пересечения дуг а (вершину определяемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.

2. Принимают данную вершину за полюс II проводят соответст­вующую ему экваториальную дугу (см. задачу 6).

3. Измеряют отрезок дуги между точками пересечения данной дуги с заданными дугами. Измеренная величина дуги состапнт вели­чину искомого угла.

Измеренный угол при вершине а равен 65°, при вершине с - -75", при вершине й— 116*.

Измеренные углы представляют собой углы между соответствую­щими гранями при условии, что заданные дуги больших кругов — стереографические проекции этих граней.

 

Кристаллографические символы. Закон рациональных отношений

Многообразие внешнего облика кристаллов, встреча­ющихся в природе, обусловлено различными сочетания­ми, или комбинациями, простых форм. Определив эле­менты симметрии кристалла, количество простых форм и вид симметрии кристалла, не всегда получают одно­значное представление о кристалле. Одни класс симмет­рии может включать в себя несколько различных по внешнему виду кристаллов. Например, кристаллы квар­ца могут встречаться в виде гексагональной дшшрамиды

или комбинации гексагональной дииирамиды с гексаго­нальной призмой (см. рис. 23, / и 2). Разные но внешне­му виду, оба кристалла имеют одинаковую формулу симметрии: Ь6<5127РС. То же можно сказать о кристал­лах циркона (см. рис. 24, /, 3, 4, 5). Все четыре формы относятся к одному и тому же виду симметрии тетраго­нальной сингонии: ЈЧ/.25РС, а кристаллы под номерами 4 и 5 даже состоят из одних и тех же простых форм — двух тетрагональных призм и тетрагональной дииира­миды.

Таким образом, определение вида симметрии или да­же наличие стереографической проекции кристалла не всегда дает нам однозначное представление о внешнем облике кристалла.

Для более точной характеристики кристалла опреде­ляют взаимное расположение его граней в пространстве по отношению к определенным координатным осям и некоторой исходной грани. Для определения грани при­меняются так называемые кристаллографические сим­волы. Понятие о кристаллографических символах выте­кает из второго закона кристаллографии, открытого в 1784 г. французским исследователем Р. Ж. Гаюи. Этот закон называется законом рациональных отношений или законом параметров, именуемым также законом целых чисел.

Закон рациональных отношений гласит: положение всякой грани может быть определено тремя целыми числами, если за оси координат выбраны направления трех ребер кристалла и за единицы измерения взяты отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кри­сталла.

Нередко дастся и другая формулировка данного за­кона— «двойные отношения параметров (отрезков), от­секаемых двумя любыми гранями кристалла на трех пе­ресекающихся его ребрах, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел» .

Возьмем три непараллельных ребра кристалла, пере­секающихся в точке О, и обозначим их ОХ. ОУ. 01. Вы­бранные три ребра примем за координатные оси (рис. 42). Покажем три грани кристалла, пересекающие координатные оси: к\Ш\П\, к2т-2п?, и к$тлП2. Отрезки, от­секаемые этими гранями на осях, называются парамет­рамй граней. Например, для грани \ГП\П\параметрами являются Ок\, О/П] и Оп\. Примем параметры этой гра­ни за единицы измерения по соответствующим осям (Ок\— по оси X, Ош\—по оси У, Оп\ —по оси 2). В этом случае параметры остальных граней кристалла бу­дут рациональными числами.

Рпс. 42. Схема коорди­натных осей, пересекае­мых гранями кристалла

 

Выбранная грань называется единичной гранью, а ее параметры — осевыми единицами. Эти осевые единицы взяты за единицы измерения — единичные отрезки.

Следует иметь в виду, что эти параметры могут быть не равны друг другу (например, на рис. 42 у грани к\Шхпх пара­метры Ок\-фОш\ФОп\). По­ложение данной грани обозна­

обозна­чается символом (111). Сим­вол обозначает, что грань отсекает по каждой оси по од­ной осевой единице.

В кристаллографии приня­то так располагать кристалло­графические оси: X — на се­бя — положительное значение, от себя - отрицательное; У— вправо — положительное зна­чение, налево - - отрицательное, 1 — вверх — положитель­ное значение, вниз — отрицательное. Осевые единицы обозначают: по X — а, по У - - Ь, но 1 — с.

Выбор единичной грани задаст масштаб по каждой оси. В нашем случае при выбранной единичной грани к\Ш\П\ ее параметрами будут а, Ь, с. Положение грани кчШчПг определится параметрами 2а, 2Ь, Зс, для грани кзт3П2 — За, 36, 2с.

Чтобы представить положение каждой грани в про­странстве, следует знать (помимо направления осей), как параметры, задающие масштабы по разным осям, относятся друг к другу.

В общей форме отношение параметров любой грани можно выразить как ра:цЬ:тс, где р, а и /- — целые числа.

Для каждого определяемого кристалла необходимо выбрать направление кристаллографических осей и од-

(Названиепростоя формы См л Количество граней
Гексаэдр (куб) (1 0! ft
Октаэдр |1 }
Тетраэдр Ў1 II 412
Ром бододекаэлр И 2!
Пентагон-додекаэдр 1* k  
Тетрагексаэдр к ?,1
Гсксоктаэдр 1: 1)

T а б л и ц а 3 Символы простых форм кубической синюнни

ну из наклонных к ним граней в качестве единичной грани. Эту операцию называют установкой кристалла. Иногда при установке кристалла некоторые грани ока­зываются параллельными одной или двум координатным осям. В этом случае их параметры по данным осям бу­дут равны бесконечности (ос).

Разобранный способ обозначения граней при помощи параметров предложен немецким ученым X. Вейссом (1818). В 1839 г. английским ученым У. Миллером была рекомендована более удобная система обозначений. Вместо величин р, q и /- он предложил брать обратные

величины — — —• Отношение этих правильных Р Ч г

дробей можно выразить и целыми числами — : —: —=

_ Р Я г

эти три числа принято называть индексами грани и обозначать буквами латинского алфавита Ii, Ii, I. Заключенные в круглые скобки индексы составляют символ грани (hkl).

В большинстве случаен индексы граней представлены числами меньше 10. Индексы в круглых скобках не раз­деляются знаками препинания. Исключение делается, когда один из индексов равен пли больше 10. При этом индексы отделяются точками, например (10-3-2). Над индексами ставят знак (—) минус в том случае, если грань отсекает соответствующий отрезок по отрицатель­ному направлению оси. Принято следующее расположе­ние индексов: по осп X — h, но оси Y—k, по оси Z —/. В таком порядке индексы и пишутся в круглых скобках для обозначения символа грани.

Как перейти от параметров к индексам? Для единич­ной грани f<imlnl (см. рис. 42) индексы Л, k, I равны еди­нице, так как величины р, q, г равны единице (каждая).

Следовательно, отношения —, — — также сосгав-

Р ч г

ляют единицу. Таким образом, символ грани 1:хт\П\ бу­дет (111). Для грани k2tn2n3 (см. рис. 42) параметры

составляют 2, 2 и 3. Индексы грани к,тгп,~ : —: — =

1 г 1 8 2 2 3 = 3:3:2. Отсюда символ этой грани (3 3 2). Грань

кз/п3Пй имеет индексы—:—:—=2:2:3 и символ ее

Л 3 2

(2 2 3). 58

Если грань параллельна какой-либо кристаллогра­фической осп, то индекс ее по этой оси будет равен ну­лю, так как — = 0. Если в кристалле у грани два ин­ое

дскса равны нулю, то третий всегда равен единице. На­пример, грань параллельна осям X и У, а по оси 7. отсекает две осевые единицы. Следовательно, парамет­ры грани со : со : 2, а индексы— : —: -—=0:0:2. Сокра-








Дата добавления: 2015-06-27; просмотров: 2402;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.03 сек.