Теория метода и описание прибора

Плоское движение совершает маятник Максвелла, который представляет собой диск, насаженный на тонкий стержень и подвешенный на двух нитях, закрепленных на оси диска (см. рис. 4.3). Нить накручивается на ось диска. При раскручивании нити диск спускается, вращаясь вокруг своей оси. Плоское движение диска можно рассматривать как сумму поступательного движения оси вращения АВ и вращательного движения диска вокруг неподвижной оси АВ. Поэтому для описания движения маятника Максвелла воспользуемся основными уравнениями динамики:

поступательного движения

, (4.22)

где – результирующая всех сил, действующих на тело массой m; – его ускорение;

и вращательного движения

, (4.23)

где – результирующий момент всех сил, действующих на тело с моментом инерции J; – его угловое ускорение.

Рис.4.3

На ось действуют две силы – сила натяжения нити (маятник висит на двух нитях) и сила тяжести , где – суммарная масса диска и оси. Следовательно, . Сила натяжения нити создает вращательный момент , где r – радиус осевого стержня. Тогда уравнения в проекциях на ось ОХ и на ось вращения АВ соответственно имеют вид

(4.24)

Для решения этой системы уравнений воспользуемся связью между тангенциальной составляющей ускорения и угловым ускорением . Тогда для момента инерции маятника Максвелла мы получаем выражение

. (4.25)

Из этого выражения видно, что маятник Максвелла будет двигаться равноускоренно. Если учесть, что маятник опускается с высоты без начальной скорости, то

, (4.26)

тогда из выражения (4.25) следует

. (4.27).

Следовательно, по этой формуле мы сможем определить момент инерции маятника Максвелла.

Момент инерции однородного диска и цилиндра относительно оси, проходящей через ось симметрии цилиндра, можно определить также по формуле

, (4.28)

где m₁ – масса цилиндрического тела, R₁– его радиус.

Используя формулу (4.28), можно легко получить формулу для моментов инерции полых цилиндрических тел:

, (4.29)

где R₂– внешний, R₁– внутренний радиус полого цилиндра.

Момент инерции нескольких тел равен сумме моментов инерции каждого тела в отдельности. Следовательно, момент инерции маятника Максвелла J_P равен сумме моментов инерции диска J_D, кольца J_K и

оси J_O:

J_P = J_O + J_D +J_K.

Тогда для момента инерции маятника Максвелла можно получить расчетную формулу

, (4.30)

где m_O – масса оси, m_D – масса диска, m_K – масса кольца, R_D – радиус диска, R_K – внешний радиус кольца, R_O – радиус оси.

Маятник, поднятый на высоту , обладает потенциальной энергией . При скатывании маятник одновременно движется поступательно и вращается относительно оси, поэтому его кинетическая энергия

. (4.31)

При падении маятника происходит изменение его потенциальной и кинетической энергии так, что полная механическая энергия остается постоянной согласно закону сохранения механической энергии:

, . (4.32)