Многократных измерений

Допустим, что мы n раз измерили значение некоторой величины x. Вследствие случайных факторов получается совокупность n различных значений одной и той же величины x. Эта совокупность значений получила название конечной выборки. Пусть максимальное измеренное значение равно x_max, минимальное – x_min. Представим результаты измерений в графической форме. Для этого предварительно проведем некоторую их обработку. Разобьем полный интервал изменения величины x на m более мелких интервалов и введем величину интервала
Dx = (x_max – x_min)/m. Для каждого такого интервала определим количество измерений Dn, для которых значение величины x попадает в рассматриваемый интервал. Определим величину у = (Dn/n)/Dx и построим график зависимости y(x). Величина Dn/nв этом отношении определяет долю от общего числа измерений, приходящуюся на выбранный интервал. Пример возможного такого графика приведен на рис. В.1.

Рис. В .1. Гистограмма результатов измерений величины x

График представляет собой столбчатую диаграмму, которая называется гистограммой. Гистограмма достаточно наглядно демонстрирует, как распределены значения результатов измерений: одни значения величины x в процессе измерений получались довольно редко, другие – более часто, а какие-то – очень часто. На некоторый интервал Dx приходится максимальное значение величины y.

Из опыта следует, что при увеличении числа измерений гистограмма будет принимать простую и вполне определенную форму, которая для множества различных экспериментов оказывается универсальной. Если совершить предельный переход: n ® ¥, Dx ® 0, то гистограмма превратится в непрерывную кривую, которая описывает функция следующего вида:

f(x) = A exp{–(x – x₀) ²/2s ²}. (В.1)

Эта зависимость получила название функции распределения Гаусса,или закона нормального распределения Гаусса. Ее график изображен на рис. В.2. Изображенная непрерывная кривая является, таким образом, предельным,или, как его еще называют, генеральным распределением.

Рис. В.2. Функция распределения Гаусса

Предельное распределение – это теоретическая идеализация, к которой никогда нельзя абсолютно точно приблизиться в эксперименте. Чем больше количество измерений, тем ближе гистограмма к предельному распределению. Теоретическая идеализация, хотя и недостижима, очень важна: она демонстрирует предельные возможности распределения результатов в данном эксперименте. Если бы могли получить в эксперименте предельное распределение, то информация, содержащаяся в нем, была максимально возможной и полной.

Следует подчеркнуть, что не все предельные распределения имеют вид нормального распределения Гаусса. Но такое распределение чаще всего будет соответствовать Вашим экспериментальным данным. По этой причине мы рассматриваем именно это распределение. Возможно, в дальнейшем Вы познакомитесь и с другими распределениями.

Нормальное (генеральное) распределение характеризуется двумя параметрами:

1) генеральным средним значением x₀;

2) генеральным отклонениемs.

Генеральное среднее представляет собой то значение x, на которое приходится максимум функции распределения Гаусса. Значения случайной величины x распределены относительно x₀симметрично (кривая нормального распределения имеет ось симметрии, проходящую через координату x₀).

Генеральное отклонение представляет собой меру ширины кривой нормального распределения. Чем меньше значение s, тем быстрее уменьшается значение функции Гаусса по мере удаления значения x от величины генерального среднего, тем уже кривая нормального распределения, меньше разброс значений измеряемой величины и, следовательно, точнее измерение.

Функция распределения Гаусса позволяет рассчитать долю из-
мерений, приходящуюся на интересующий интервал значений вели-
чины x:

, (В.2)

где x₁ – нижняя граница выбранного интервала значений величины х;
x₂ – верхняя граница выбранного интервала значений величины х.

Функция распределения Гаусса (В.1) удовлетворяет условию нормировки:

.

Поэтому (В.2) можно интерпретировать как вероятность P того, что «истинное» значение измеряемой величины окажется в интересующем нас интервале. Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь под кривой нормального распределения в пределах выбранного интервала (см. рис. В.2), отнесенная к полной площади под всей кривой, должна давать величину этой вероятности и, соответственно, значение Δn/n.

Используя вероятностный смысл функции Гаусса, можно показать, что среднее значение измеряемой величины, определяемое как

в случае нормального распределения совпадает с x₀, т. е. . Поэтому величина x₀ и получила название среднего значения генерального (нормального) распределения,илигенерального среднего.

Аналогично можно показать, что значение sсовпадает с величиной стандартного, илисреднеквадратичного, отклонения, квадрат которого для нормального распределения определяется выражением
(x – )² f dx_. Поэтому sназывается среднеквадратичным (стандартным) отклонением генерального (нормального) распределения,или генеральным отклонением. Среднеквадратичноеотклонение характеризует среднюю меру разброса (отклонения) случайной величины x от среднего значения . Обратите внимание: сначала суммируются (интегрируются) значения величины (x – )² – квадраты всех отклонений от среднего. Квадратный корень из этой суммы и дает величину среднеквадратичного отклонения (с определением связано название величины). Если бы суммировались сами отклонения, т. е. величины
(x – ), то в силу симметрии нормального распределения Гаусса результат был бы равен нулю. Это обусловлено тем, что отрицательные и положительные по знаку отклонения являются равновероятными. По этой причине вкачестве средней меры отклонения случайной величины от среднего используется именно среднеквадратичное отклонение.

Возьмем интервал (x₀– Δx, x₀+ Δx), границы которого симметричны по отношению к генеральному среднему. Пользуясь (В.2), для нормального распределения можно определить вероятность P попадания «истинного» значения измеряемой величины в этот интервал. Если вероятность определена, то интервал называется доверительным интервалом измерения, а вероятность – доверительной вероятностью, или надежностью измерения. Надежность измерения выражается или в долях единицы или в процентах и зависит от величины выбранного интервала.

Если задан доверительный интервал с указанием величины надежности (вероятности P), то информация о результатах измерения считается представленной с учетом случайных погрешностей измерения. Величина Δx, характеризующая ширину доверительного интервала, называется доверительной погрешностью.

В качестве доверительного интервала для нормального распределения чаще всего используется интервал (x₀– s, x₀+ s), связанный со стандартным отклонением. Величина доверительной вероятности для такого интервала составляет приблизительно 68,3 %.

Если взять Δx = 2s, то P = 95,5 %. При Δx = 3s величина P = 99,7 %. Последнее, например, означает, что вероятность обнаружить результат измерения величины x за пределами интервала (x₀ – 3s, x₀ + 3s) составляет всего 0,3 %. Можно считать, что «истинное» значение измеряемой величины практически находится в этом интервале.

От функции распределения Гаусса, которая является теоретической предельной идеализацией, вернемся теперь к нашему реальному распределению (см. рис. В.1), в котором количество измерений n представляет собой конечную величину. Как в этом случае определяется доверительный интервал и представляются результаты измерений?

Аналогом величины x₀выступает величина выборочного среднего значения (среднеарифметического для конечной выборки)

= . (В.3)

Аналогом величины sявляется величина выборочного среднеквадратичного отклонения

S_x = . (В.4)

Чтобы получить оценку доверительного интервала для конечного числа измерений, приходится вводить величину t_S– коэффициент Стьюдента (псевдоним английского математика В.С. Госсета). Только введение этого коэффициента позволяет найти доверительную вероятность для заданного интервала значений или определить интервал для заданной величины вероятности. Последняя из этих двух операций более простая, поэтому мы будем поступать именно так. Значения коэффициента Стьюдента для различных значений n и P даны
в табл. В.1.

Т а б л и ц а В.1