Сущность метода перемещений

Данный вопрос изучим на следующем примере (рис. 10.4 а). Эта рама четырежды статически неопределима. При ее расчете методом сил нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему, например, такую как на рис. 10.4 б.

Рис. 10.4

При использовании же метода перемещений раму следует превратить в кинематически определимую. Для этого в ЗС достаточно ввести + =1+0=1 кинематическую связь. Если неизвестное угловое перемещение узла обозначить через Z, получим ОС показанную на рис. 10.4 в.

Потребуем, чтобы усилия и деформации ОС были такими же как у ЗС. Для этого перемещение Z должно быть равно углу поворота узла рамы j (рис. 10.4 а), а реактивный момент во введенной заделке основной системы (рис. 10.4 в) должен равняться нулю:

R =0.

Эту реакцию определим, рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы.

В единичном состоянии введенной связи зададим единичное перемещение Z=1 и определим возникающую в ней реакцию r (рис. 10.4 г). Такая реакция от единичного перемещения называется жесткостью.

В грузовом состоянии приложим только внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию R_P (рис. 10.4 д).

С учетом упругости системы и принципа суперпозиции наше уравнение приводится к виду

r · Z+ R_P =0 .

Оно называется каноническим уравнением метода перемещений. Если известны реакции r и R_P, то из него можно найти величину узлового перемещения:

Z= – R_P /r.

Если степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n, ее ОС получается введением n дополнительных связей с неизвестными Z₁, Z₂, …, Z_n. Чтобы ОС была эквивалентна ЗС, реакции во введенных связях должны равняться нулю. С учетом этого можно записать n уравнений. После рассмотрения n единичных состояний, одного грузового состояния и дальнейшего определения реакций (реактивных усилий) во всех состояниях, эти уравнения приводятся к следующему виду:

. . . . . . . . . . .

Все вместе они называются системой канонических уравнений метода перемещений. Здесь – главные коэффициенты, – боковые коэффициенты. Свободные члены являются грузовыми коэффициентами.

После введения матриц и векторов

r= , Z = ,R_P = ,0 =

система канонических уравнений записывается в матричной форме: r · Z + R_P = 0,

где r – матрица жесткости, Z – вектор неизвестных, R_P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. Отсюда определяется вектор неизвестных:

Z = – r^–1 R_P,

где r^–1 – обратная матрица жесткости.