Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 4.7). Пусть сила приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии l, – угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения В проходит путь , и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: .

Учитывая (4.1), можем записать

,

где – момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

,

но

,

поэтому

или

.

Учитывая, что , получим

. (4.11)

Уравнение (4.11) представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

,(4.12)

где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).